Resolva as integrais abaixo.
\int \frac{x^{(-1 / 3)}-5}{x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \frac{x^{(-1/3)} - 5}{x}\,dx.
O conteúdo envolvido é o uso da linearidade da integral e da regra de potência, além da integral de x^{-1}.

Passo 2

Vamos simplificar o integrando dividindo termo a termo por x:
\frac{x^{(-1/3)} - 5}{x} = x^{-1/3 - 1} \;-\; 5x^{-1} = x^{-4/3} \;-\; 5x^{-1}.
Logo a integral vira
\int (x^{-4/3} \;-\; 5x^{-1})\,dx.

Passo 3

Integramos cada termo separadamente:
  1. Para x^{-4/3}, usamos
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1},\quad n\neq -1.
Aqui n=-\tfrac{4}{3}, então
\int x^{-4/3}\,dx = \frac{x^{-4/3+1}}{-4/3+1} = \frac{x^{-1/3}}{-1/3} = -3\,x^{-1/3}.
  1. Para -5x^{-1}, usamos
\int x^{-1}\,dx = \ln\lvert x\rvert,
então
\int -5x^{-1}\,dx = -5\ln\lvert x\rvert.

Passo 4

Somando as duas partes e adicionando a constante de integração C, obtemos
-3\,x^{-1/3} \;-\; 5\ln\lvert x\rvert \;+\; C.

Resposta

-3\,x^{-1/3} \;-\; 5\ln\lvert x\rvert + C.

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