Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
  1. \quad \int\left(x^{3}-5 x^{2}+7 x-1\right) d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \bigl(x^{3} - 5x^{2} + 7x - 1\bigr)\,dx.
Trata‐se de integrar um polinômio, usando a linearidade da integral e a regra do poder \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Pela linearidade da integral, decompomos:
\int \bigl(x^{3} - 5x^{2} + 7x - 1\bigr)\,dx = \int x^{3}\,dx \;-\; 5\int x^{2}\,dx \;+\; 7\int x\,dx \;-\; \int 1\,dx.

Passo 3

Aplicamos a regra do poder em cada termo:
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4}, \quad \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, \quad \int x\,dx = \frac{x^{2}}{2}, \quad \int 1\,dx = x.

Passo 4

Substituindo os resultados e mantendo o +C:
\frac{x^{4}}{4} \;-\;5\cdot\frac{x^{3}}{3} \;+\;7\cdot\frac{x^{2}}{2} \;-\;x \;+\;C.

Passo 5

Simplificando os coeficientes temos
\frac{x^{4}}{4} - \frac{5}{3}\,x^{3} + \frac{7}{2}\,x^{2} - x + C.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{4}}{4} - \tfrac{5}{3}x^{3} + \tfrac{7}{2}x^{2} - x + C

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