Para cada um dos itens abaixo, calcule a integral.
6) \quad \int\left(x^{2}-4 x\right) \sqrt{x} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (x^{2} - 4x)\,\sqrt{x}\,dx.
Aqui vamos usar que \sqrt{x} = x^{1/2}, fazer manipulação algébrica para escrever tudo como potências de x e, em seguida, aplicar a regra de potência para integrar.

Passo 2

Substituímos \sqrt{x} por x^{1/2} e distribuímos:
(x^{2} - 4x)\,\sqrt{x} = x^{2}\cdot x^{1/2} - 4x\cdot x^{1/2} = x^{5/2} - 4\,x^{3/2}.

Passo 3

Integramos termo a termo usando
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\quad(n\neq -1).
Para o primeiro termo:
\int x^{5/2}\,dx = \frac{x^{7/2}}{7/2} = \frac{2}{7}\,x^{7/2}.
Para o segundo termo:
\int -4\,x^{3/2}\,dx = -4\cdot\frac{x^{5/2}}{5/2} = -4\cdot\frac{2}{5}\,x^{5/2} = -\frac{8}{5}\,x^{5/2}.

Passo 4

Somando os dois resultados e adicionando a constante de integração C, obtemos a primitiva buscada.

Resposta

\frac{2}{7}\,x^{7/2} \;-\;\frac{8}{5}\,x^{5/2} + C.

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