Considere a equação y^prime prime+p(t) y=0, então mostre que:
a) Se y1(t) e y2(t) são soluções da equação, então y(t)=y1(t)+y2(t) também será.
b) Se y1(t) é uma solução da equação, então y(t)=c y1(t) também será.

Passo 1

O enunciado trata da equação diferencial homogênea de segunda ordem
y'' + p(t),y = 0,
onde p(t) é dada. O que vamos usar é o fato de que o operador
L[y] = y'' + p(t),y
é linear, ou seja, satisfaz
L[y1 + y2] = L[y1] + L[y2]
e
L[c,y1] = c,L[y1].

Passo 2

Para mostrar (a), seja y(t)=y1(t)+y2(t). Então
L[y1+y2] = (y1+y2)'' + p(t),(y1+y2) = l(y1''+p(t),y1r) + l(y2''+p(t),y2r)
Como y1 e y2 são soluções, temos
L[y1]=0 e L[y2]=0. Portanto
L[y1+y2]=0, isto é, y1+y2 também satisfaz a equação.

Passo 3

Para mostrar (b), seja y(t)=c,y1(t) com c constante. Então
L[c,y1] = (c,y1)'' + p(t),(c,y1) = c,y1'' + c,p(t),y1 = cl(y1''+p(t),y1r)
Como L[y1]=0, segue que L[c,y1]=0, logo c,y1 é solução.

Resposta

a) Se y1 e y2 são soluções, então y=y1+y2 também é solução.
b) Se y1 é solução, então para qualquer constante c y=c,y1 também é solução.

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