Em cada um dos itens abaixo, considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(1z-y) i+(1z+x) j
Determine a expressão do campo vetorial no plano z=zo quando zo infty, e apresente o correspondente esboço.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em R^3
F(x,y,z)=l(tfrac1z-yr),i ;+;l(tfrac1z+xr),j
e pede sua expressão no plano z=z0 quando z0toinfty, além de um esboço. Vamos então restringir o campo a z=z0 e depois estudar o limite de cada componente.

Passo 2

Restrigindo a z=z0, obtemos
F(x,y,z0) =l(tfrac1z0-yr),i +l(tfrac1z0+xr),j

Passo 3

Como z0toinfty, temos tfrac1z0to 0. Logo, em norma e direção,
limz0toinftyF(x,y,z0) =(-y),i+x,j

Passo 4

O campo
Finfty(x,y)=(-y),i+x,j
é o clássico campo de rotação uniforme em torno da origem, com linhas de fluxo formando círculos concêntricos e sentido anti-horário. Por exemplo:
  • Em (1,0) o vetor é (0,1), apontando para cima.
  • Em (0,1) o vetor é (-1,0), apontando para a esquerda.
  • Em (-1,0) o vetor é (0,-1), apontando para baixo.
  • Em (0,-1) o vetor é (1,0), apontando para a direita.

Resposta

Finfty(x,y)=(-y),i+x,j
Esboço: vetores tangentes aos círculos centrados na origem, com sentido anti-horário e intensidade crescente linearmente com a distância ao centro.

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