Seja g(x)=x^x. Determine g^prime(x).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de g(x)=x^x. Esse é um caso de função em que a base e o expoente dependem de x, então vamos usar a técnica de reescrever em termos de exponencial e aplicar a regra da cadeia unida à derivada de um produto.

Passo 2

Reescrevemos
g(x)=x^x
como
g(x)=e^lnl(x^xr)=e^xln(x)

Passo 3

Definimos o expoente
h(x)=xln(x)
Para derivá-lo, usamos a regra do produto entre x e ln(x):
h'(x)=1cdotln(x)+xcdot1x=ln(x)+1

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia a g(x)=e^h(x), obtemos
g'(x)=e^h(x)cdot h'(x)=e^xln(x)l(ln(x)+1r)

Passo 5

Por fim, voltamos à forma original x^x=e^xln(x), chegando a
g'(x)=x^xl(ln(x)+1r)

Resposta

g'(x)=x^xl(ln(x)+1r)

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