Calcule a derivada de f(x)=(x^2+1)^x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = (x^2 + 1)^x
Como a base e o expoente dependem de x, a forma mais direta é usar diferenciação logarítmica, que combina a regra da cadeia com a do produto de maneira elegante.

Passo 2

Definimos
y = f(x) = (x^2 + 1)^x
e tomamos logaritmo natural em ambos os lados para simplificar o expoente variável:
ln y = lnl((x^2 + 1)^xr) = x ,ln(x^2 + 1)

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo,
ddx[ln y] = y'y
Do lado direito, usamos a regra do produto em xcdot ln(x^2+1):
ddxl[x,ln(x^2+1)r] = 1cdot ln(x^2+1) + xcdot ddxl[ln(x^2+1)r] = ln(x^2+1) + xcdot 2xx^2+1
Portanto,
y'y = ln(x^2+1) + 2x^2x^2+1

Passo 4

Isolando y' e voltando a escrever y=f(x), obtemos
y' = y ,l[ln(x^2+1) + tfrac2x^2x^2+1r] = (x^2+1)^x,l[ln(x^2+1) + tfrac2x^2x^2+1r]

Resposta

f'(x) = (x^2+1)^x,l[ln(x^2+1) + tfrac2x^2x^2+1r]

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