Em cada um dos itens abaixo, considere o campo vetorial
F(x, y, z)=(1z-y) i+(1z+x) j
Encontre o valor do campo escalar F cdot G onde G=x i+y j+z k, sobre o plano z=x+y.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z) = l(1z-yr)i + l(1z+xr)j
e o vetor
G=xi+yj+zk.
Queremos calcular o produto escalar FcdotG sobre o plano z=x+y. O que precisamos é aplicar a definição de produto escalar em R^3 e depois fazer a substituição z=x+y.

Passo 2

Pela definição de produto escalar em R^3,
FcdotG = Fx,Gx + Fy,Gy + Fz,Gz
Aqui temos
Fx = 1z-y, Fy = 1z+x, Fz = 0,
Gx = x, Gy = y, Gz = z
Logo,
FcdotG = xl(tfrac1z-yr) + yl(tfrac1z+xr)

Passo 3

Expandindo e simplificando:
FcdotG = xz - x,y + yz + x,y = x+yz
No plano z = x + y, substituímos z por x+y:
FcdotG = x+y,x+y, = 1

Resposta

1

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