Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x0; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm de satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções y1 e y2 (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano W[y1, y2](x0), mostre que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
y^prime prime+k^2 x^2 y=0, x0=0, k uma constante

Passo 1

O enunciado pede solução em série de potências de
y''+k^2x^2y=0
em torno de x0=0. Vamos assumir
y=sumn=0^infty anx^n,
achar a relação de recorrência entre os an, obter as duas séries independentes (par e ímpar), extrair os quatro primeiros termos de cada solução, verificar o Wronskiano em 0 e, se possível, escrever o termo geral de cada série.

Passo 2

Substituindo
y=sumn=0^infty anx^n Longrightarrow y''=sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n, x^2y=sumn=0^infty an-2,x^n,
em
y''+k^2x^2y=0
e igualando coeficientes de x^n obtemos
(n+2)(n+1),an+2+k^2,an-2=0 Longrightarrow an+2=-k^2(n+2)(n+1),an-2

Passo 3

Essa recorrência liga an+2 a an-2, separando em duas subséries: uma com índices pares ( a1=0) e outra com índices ímpares ( a0=0). Cada série avança de 4 em 4 no índice original.

Passo 4

Para a solução par y1 (só termos x^2m), tomamos a1=0, a0 livre. Da recorrência:
  • a2=0 (porque envolve a-2=0),
  • a4=-tfrack^24cdot3a0=-tfrack^212a0,
  • a6=0,
  • a8=-tfrack^28cdot7a4=tfrack^4672a0,
  • a12=-tfrack^212cdot11a8=-tfrack^688704a0.
    Logo, os quatro primeiros termos não nulos de y1 são
y1 =a0l(1-tfrack^212x^4+tfrack^4672x^8-tfrack^688704x^12+cdotsr)
Para a solução ímpar y2 (só termos x^2m+1), tomamos a0=0, a1 livre. Da recorrência:
  • a3=0,
  • a5=-tfrack^25cdot4a1=-tfrack^220a1,
  • a7=0,
  • a9=-tfrack^29cdot8a5=tfrack^41440a1,
  • a13=-tfrack^213cdot12a9=-tfrack^6224640a1.
    Portanto
y2 =a1l(x-tfrack^220x^5+tfrack^41440x^9-tfrack^6224640x^13+cdotsr)

Passo 5

O Wronskiano em x=0 é
W(y1,y2)(0) = y1(0)&y2(0) y1'(0)&y2'(0) = a0&0 0&a1 =a0,a1neq0
para a0neq0 e a1neq0. Isso prova que y1 e y2 são linearmente independentes.

Passo 6

O termo geral resulta diretamente de
an+2=-k^2(n+2)(n+1),an-2
Para a série par ( n=2m) obtém-se
a2m =(-1)^mk^2mprodj=1^m(2j)(2j-1),a0,
e para a série ímpar ( n=2m+1):
a2m+1 =(-1)^mk^2mprodj=1^m(2j+1)(2j),a1

Resposta

A relação de recorrência é
an+2=-k^2(n+2)(n+1),an-2
As quatro primeiras parcelas de cada solução são
y1 =a0l(1-tfrack^212x^4+tfrack^4672x^8-tfrack^688704x^12+cdotsr), y2 =a1l(x-tfrack^220x^5+tfrack^41440x^9-tfrack^6224640x^13+cdotsr)
O Wronskiano em 0 é W(0)=a0a1neq0, garantindo independência. Os termos gerais são
a2m=(-1)^mk^2mprodj=1^m(2j)(2j-1),a0, a2m+1=(-1)^mk^2mprodj=1^m(2j+1)(2j),a1

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