Procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado ; encontre a relação de recorrência que os coeficientes têm de satisfazer.
b. Encontre os quatro primeiros termos em cada uma das duas soluções e (a menos que a série termine antes).
c. Calculando o wronskiano , mostre que e formam um conjunto fundamental de soluções.
d. Se possível, encontre o termo geral em cada solução.
Passo 1
O enunciado pede solução em série de potências de
em torno de . Vamos assumir
achar a relação de recorrência entre os , obter as duas séries independentes (par e ímpar), extrair os quatro primeiros termos de cada solução, verificar o Wronskiano em e, se possível, escrever o termo geral de cada série.
Passo 2
Substituindo
em
e igualando coeficientes de obtemos
Passo 3
Essa recorrência liga a , separando em duas subséries: uma com índices pares () e outra com índices ímpares (). Cada série avança de 4 em 4 no índice original.
Passo 4
Para a solução par (só termos ), tomamos , livre. Da recorrência:
(porque envolve ),
,
,
,
.
Logo, os quatro primeiros termos não nulos de são
Para a solução ímpar (só termos ), tomamos , livre. Da recorrência:
,
,
,
,
.
Portanto
Passo 5
O Wronskiano em é
para a0neq0 e a1neq0. Isso prova que y1 e y2 são linearmente independentes.