Em cada um dos ítens abaixo, construa uma sequência que tenha a propriedade indicada.
para cada
, uma sequência que tenha exatamente
valores de aderência.
para cada
Passo 1
O enunciado pede que, para cada
, a gente construa uma sequência que tenha exatamente
valores de aderência (ou seja, exatamente
pontos aos quais alguma subsequência converge). Para isso vamos usar a definição de valor de aderência e a ideia de fazer a sequência visitar infinitas vezes um conjunto finito de
pontos distintos.
Passo 2
Escolha
pontos distintos
Defina a sequência
por
Aqui o operador “
” retorna o resto da divisão de
por
, de modo que
e assim por diante, em ciclo.
Passo 3
- Cada
é valor de aderência porque a subsequência é constante igual a e converge trivialmente para . - Não existem outros valores de aderência, já que o conjunto de valores da sequência é
um conjunto finito de pontos.
Portanto o conjunto de todos os valores de aderência é exatamente
que tem
elementos.
Resposta
Para cada
, basta escolher
pontos distintos
e definir
Essa sequência tem exatamente
valores de aderência, a saber
.