Em cada um dos ítens abaixo, construa uma sequência que tenha a propriedade indicada.
para cada j in N, uma sequência que tenha exatamente j valores de aderência.

Passo 1

O enunciado pede que, para cada jinN, a gente construa uma sequência que tenha exatamente j valores de aderência (ou seja, exatamente j pontos aos quais alguma subsequência converge). Para isso vamos usar a definição de valor de aderência e a ideia de fazer a sequência visitar infinitas vezes um conjunto finito de j pontos distintos.

Passo 2

Escolha j pontos distintos
a1,a2,dots,ajinR, akneq aell sempre que kneqell
Defina a sequência l(xnr)ninN por
xn ;=; a,l((n-1)bmod jr)+1,
Aqui o operador “ bmod j” retorna o resto da divisão de n-1 por j, de modo que
x1=a1,;x2=a2,;dots,;xj=aj,;xj+1=a1,;xj+2=a2,;dots
e assim por diante, em ciclo.

Passo 3

  1. Cada ak é valor de aderência porque a subsequência xk,,xk+j,,xk+2j,,dots é constante igual a ak e converge trivialmente para ak.
  2. Não existem outros valores de aderência, já que o conjunto de valores da sequência é xn:ninN ;=; a1,a2,dots,aj, um conjunto finito de j pontos.
Portanto o conjunto de todos os valores de aderência é exatamente
a1,a2,dots,aj,
que tem j elementos.

Resposta

Para cada jinN, basta escolher j pontos distintos a1,dots,aj e definir
xn = a,l((n-1)bmod jr)+1
Essa sequência tem exatamente j valores de aderência, a saber a1,dots,aj.

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