Seja f(x)=x^2 e^-2 x. O máximo absoluto de f(x) ocorre quando x=.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) NRA

Passo 1

O enunciado pede o valor de x em que a função
f(x)=x^2e^-2x
atinge seu máximo absoluto. Vamos usar derivadas para identificar pontos críticos e depois verificar comportamentos extremos.

Passo 2

Calculamos a derivada de f aplicando a regra do produto em que uma das funções é x^2 e a outra é e^-2x:
f'(x) =ddxl(x^2r),e^-2x +x^2,ddxl(e^-2xr) =2x,e^-2x +x^2l(-2e^-2xr) =e^-2xl(2x-2x^2r)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
e^-2x(2x-2x^2)=0
Como e^-2x>0 para todo x, basta
2x-2x^2=0 Longrightarrow 2x(1-x)=0
que dá x=0 ou x=1.

Passo 4

Fazemos o estudo de sinal de f'(x):
  • Se 0<x<1, então 1-x>0 e x>0, logo f'(x)>0 (função crescente).
  • Se x>1, então 1-x<0 e x>0, logo f'(x)<0 (função decrescente).
    Isso mostra que em x=1 há um máximo local.

Passo 5

Agora verificamos o comportamento em torno e nas fronteiras do domínio prático x>=0:
  • Em x=0, temos f(0)=0.
  • Para xto+infty, x^2e^-2xto0.
    Portanto o valor máximo absoluto ocorre em x=1.

Resposta

(A) 1

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