lim x 0^+(1+sen(2 x))^1 / x=
(A) +infty
(B) 1
(C) e^5
(D) e^2
(E) e^10

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
O conteúdo envolvido é reescrever a expressão na forma exponencial, aplicando a propriedade
^{b(x)} = \exp\bigl(b(x)\ln(a(x))\bigr)), e usar expansão em série de Taylor para e .

Passo 2

Definindo
L = limxto 0^+l(1+sin(2x)r)^1/x,
reescrevemos
L = limxto 0^+exp!l(tfrac1xlnl(1+sin(2x)r)r) = exp!l(limxto 0^+tfraclnl(1+sin(2x)r)xr)

Passo 3

Para a parte interna do expoente usamos as expansões
sin(2x)=2x+o(x), ln(1+y)=y-tfracy^22+o(y^2)
Logo, tomando y=sin(2x),
lnl(1+sin(2x)r) =2x-tfrac(2x)^22+o(x^2) =2x-2x^2+o(x^2)
Dividindo por x,
tfraclnl(1+sin(2x)r)x =2-2x+o(x) ;xrightarrow[xto0]; 2

Passo 4

Como o limite do expoente é 2, obtemos
L = exp(2) = e^2

Resposta

e^2 (alternativa D)

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