Em cada um dos itens abaixo é dada uma equação diferencial linear de segunda ordem e um par de condições iniciais. Primeiro verifique que y1 e y2 são soluções da equação diferencial e depois encontre uma solução particular da forma y(x)=c1 y1+c2 y2 que satisfaça as condições iniciais dadas.
y^prime prime+y^prime-6 y=0 ; y1=e^2 x, y2=e^-3 x ; y(0)=7, y^prime(0)=-1

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + y' - 6y = 0
e as soluções candidatas ,y1=e^2x e ,y2=e^-3x.
O objetivo é (i) verificar que ,y1 e ,y2 satisfazem a equação e (ii) determinar constantes c1,c2 tais que
y(x)=c1y1(x)+c2y2(x)
verifique as condições iniciais
y(0)=7, y'(0)=-1

Passo 2

Verificamos para y1(x)=e^2x. Calculamos as derivadas:
y1'=2e^2x, y1''=4e^2x
Substituindo em y''+y'-6y obtemos
y1''+y1'-6y1 =4e^2x+2e^2x-6e^2x =(4+2-6)e^2x=0,
logo ,y1 é solução.

Passo 3

Verificamos para y2(x)=e^-3x. Calculamos as derivadas:
y2'=-3e^-3x, y2''=9e^-3x
Substituindo em y''+y'-6y obtemos
y2''+y2'-6y2 =9e^-3x-3e^-3x-6e^-3x =(9-3-6)e^-3x=0,
logo ,y2 é solução.

Passo 4

A solução geral é
y(x)=c1e^2x+c2e^-3x
Derivando,
y'(x)=2c1e^2x-3c2e^-3x
Nas condições iniciais x=0 temos o sistema
y(0)=c1+c2=7, y'(0)=2c1-3c2=-1

Passo 5

Resolvendo
c1+c2=7, 2c1-3c2=-1,
podemos, por exemplo, multiplicar a primeira por 2 e subtrair da segunda:
2c1-3c2-2(c1+c2)=-1-14 ;Longrightarrow;-5c2=-15 ;Longrightarrow;c2=3
Então c1=7-c2=7-3=4.

Resposta

A solução que satisfaz as condições iniciais é
boxedy(x)=4e^2x+3e^-3x

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