Um fabricante modelou sua funçāo P da produçâo anual (o valor de toda essa produção em milhóes de dólares) como uma função Cobb-Douglas
P(L, K)=1,47 L^0,45 K^0,25
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhöes de dölares). Suponha que quando L=30 e K=8, a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa de 2.000 horas trabalhadas por ano e o capital esteja aumentando em uma taxa de 500.000$ por ano. Encontre a taxa de variaçăo da produçåo.

Passo 1

O enunciado dá a produção anual em milhões de dólares pela função Cobb–Douglas
P(L,K)=1,47,L^0,45K^0,25,
onde L está em milhares de horas e K em milhões de dólares. Queremos a taxa de variação dPdt quando L=30 e K=8, sabendo que a força de trabalho decresce a 2.000 horas/ano (ou seja, dLdt=-2, em milhares/ano) e o capital cresce a $500.000/ano (ou seja, dKdt=0,5, em milhões/ano). Vamos usar a regra da cadeia com derivadas parciais.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Ppartial L(L,K) =1,47cdot0,45,L^0,45-1K^0,25 =1,47cdot0,45,L^-0,55K^0,25,
partial Ppartial K(L,K) =1,47cdot0,25,L^0,45K^0,25-1 =1,47cdot0,25,L^0,45K^-0,75

Passo 3

Avaliaremos em L=30 e K=8:
partial Ppartial L(30,8) = (1,47cdot0,45),30^-0,55,8^0,25 approx0,1712,
partial Ppartial K(30,8) = (1,47cdot0,25),30^0,45,8^-0,75 approx0,3564

Passo 4

Pela regra da cadeia,
dPdt =partial Ppartial L,dLdt +partial Ppartial K,dKdt approx0,1712cdot(-2)+0,3564cdot0,5 =-0,3424+0,1782 approx-0,1642

Resposta

A produção está diminuindo a cerca de -0,164 milhões de dólares por ano (ou seja, -$164.200/ano).

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