Um fabricante modelou sua funçāo
da produçâo anual (o valor de toda essa produção em milhóes de dólares) como uma função Cobb-Douglas
onde
é o número de horas trabalhadas (em milhares) e
é o capital investido (em milhöes de dölares). Suponha que quando
e
, a força de trabalho esteja decrescendo em uma taxa de 2.000 horas trabalhadas por ano e o capital esteja aumentando em uma taxa de
500.000$ por ano. Encontre a taxa de variaçăo da produçåo.
Passo 1
O enunciado dá a produção anual em milhões de dólares pela função Cobb–Douglas
onde
está em milhares de horas e
em milhões de dólares. Queremos a taxa de variação
quando
e
, sabendo que a força de trabalho decresce a
horas/ano (ou seja,
, em milhares/ano) e o capital cresce a
/ano (ou seja,
, em milhões/ano). Vamos usar a regra da cadeia com derivadas parciais.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Avaliaremos em
e
:
Passo 4
Pela regra da cadeia,
Resposta
A produção está diminuindo a cerca de
milhões de dólares por ano (ou seja,
/ano).