Determine a solução geral de:

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x,y'' - y' = x + 1, x>0
Este é um EDO de segunda ordem com coeficientes dependentes de x, mas não aparece y em termo livre, apenas y'. Por isso vamos usar a substituição v=y' para reduzir a ordem.

Passo 2

Substituindo v=y' temos
v' = y''
Dividindo a equação original por x (visto que x>0) obtemos
y'' - 1x,y' = 1 + 1x Longrightarrow v' - 1x,v = 1 + 1x

Passo 3

Reconhecemos em
v' - 1x,v = 1 + 1x
uma equação linear de primeira ordem em v. O fator integrante é
mu(x) = expl(-integral tfrac1x,dxr) = exp(-ln x) = x^-1
Multiplicando tudo por x^-1 segue
l(v,x^-1r)' = 1+1/xx = 1x + 1x^2

Passo 4

Integramos em relação a x:
vx = integrall(1x + 1x^2r)dx = ln x - 1x + C1
Multiplicando por x obtemos
v = y' = xln x - 1 + C1,x

Passo 5

Agora integramos y' = xln x + C1x - 1. Primeiro
integral xln x,dx
fazendo partes ( u=ln x, dv=x,dx) resulta
x^22ln x - integralx^22cdot1x,dx = x^22ln x - x^24
Logo
y = integrall(xln x + C1x - 1r)dx = x^22ln x - x^24 + C1,x^22 - x + C2

Passo 6

Reagrupando as constantes arbitrárias: seja
C = C12 - 14, D = C2,
então a solução geral fica
y(x) = x^22ln x + C,x^2 - x + D

Resposta

boxed y(x) = x^22ln x + C,x^2 - x + D, C,DinR

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