1. Use a integração numérica (como a regra de Simpson, Apêndice C) para aproximar a solução, em x=1, para o problema de valor inicial
d yd x+sen 2 x2(1+sen^2 x) y=1, y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de y(1) para o problema de valor inicial
dydx + sen 2x2l(1+sen^2 xr),y = 1, y(0)=0
usando integração numérica (regra de Simpson). O conteúdo é EDO linear de 1.º ordem e usaremos o fator integrante para obter uma expressão em integral que depois aproximaremos por Simpson.

Passo 2

Para a EDO
o fator integrante é
Aqui
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Assim
A solução geral é
Como e , temos e , portanto

Passo 3

Precisamos aproximar
I = integral0^1raiz1+sen^2s;ds
e depois calcular
y(1) = Iraiz1+sen^2 1
Aplicamos a regra de Simpson com n=4 subdivisões uniformes em [0,1]. O passo é
h = 1-04 = 0,25,
e os nós são sk = 0,,0,25,,0,5,,0,75,,1.

Passo 4

Calculamos nos nós:
Pela regra de Simpson,
Calculando a soma interna:
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Passo 5

Agora raiz1+sen^2 1approx1,3070. Então
y(1) = Iraiz1+sen^2 1 approx 1,12381,3070 approx0,860

Resposta

y(1)approx0,86 (pela regra de Simpson com n=4).

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