Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
\lim _{(x, y) \rightarrow(0, \ln 2)} e^{x-y}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,\ln 2)} e^{x-y}
existe ou não. Os dados fornecidos são:
  • A função considerada é f(x,y)=e^{x-y}.
  • O ponto de aproximação é (0,\ln 2).
Portanto a pergunta concreta é: ao fazer (x,y) aproximar-se de (0,\ln 2), o valor de e^{x-y} se aproxima de algum número? Se sim, qual número?

Passo 2

Entendendo o que significa limite em \mathbb{R}^2 (intuição):
  • Dizer que \lim_{(x,y)\to(0,\ln 2)} f(x,y)=L significa que, quando (x,y) vai para (0,\ln 2) por qualquer caminho (qualquer sequência de pontos que se aproxime do ponto), os valores f(x,y) se aproximam de L.
  • Uma maneira prática de avaliar limites de funções que são “bozinhas” (sem singularidade) é verificar se a função é contínua no ponto; se for contínua, o limite existe e é igual ao valor da função no ponto.

Passo 3

Analisando f(x,y)=e^{x-y} e por que ela é contínua:
  • A operação (x,y)\mapsto x-y é simplesmente subtração de coordenadas; isso é uma função polinomial (linear) nas variáveis e é contínua em todo \mathbb{R}^2.
  • A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}.
  • A composição de funções contínuas é contínua. Portanto a composição f(x,y)=e^{x-y} é contínua em todo \mathbb{R}^2, inclusive em (0,\ln 2).
  • Conclusão imediata: o limite existe e é dado por avaliar a função no ponto:
\lim_{(x,y)\to(0,\ln 2)} e^{x-y} = e^{\,0-\ln 2}.

Passo 4

Calcule o valor explícito:
  • Primeiro calcule o expoente: 0-\ln 2 = -\ln 2.
  • Logo
e^{\,0-\ln 2} = e^{-\ln 2}.
  • Usando a propriedade e^{\ln a}=a (válida para a>0), temos e^{\ln 2}=2. Então
e^{-\ln 2} = \frac{1}{e^{\ln 2}} = \frac{1}{2}.

Passo 5

(Mini prova com ideia \varepsilon- \delta, para fixar a intuição)
  • Pela regra do valor médio aplicada à função exponencial em variável real, existe um ponto intermediário \xi entre x-y e -\ln 2 tal que
\bigl|e^{x-y}-e^{-\ln 2}\bigr| = e^{\xi}\,\bigl|(x-y)-(-\ln 2)\bigr| = e^{\xi}\,\bigl|x+y-(-\ln 2 + y)?\bigr|.
(Mais simplesmente, \bigl|e^{u}-e^{u_0}\bigr| \le M|u-u_0| quando u está em um pequeno intervalo ao redor de u_0, com M uma cota de e^{t} nesse intervalo.)
  • Se escolhermos uma vizinhança pequena de (0,\ln 2) então x-y fica perto de -\ln 2, logo e^{\xi} fica limitada por algum número M. Assim
\bigl|e^{x-y}-e^{-\ln 2}\bigr| \le M\bigl| (x-y)-(-\ln 2)\bigr| \le M\bigl(|x-0|+|y-\ln 2|\bigr).
  • Dado \varepsilon>0, basta escolher \delta tal que M\delta<\varepsilon; então sempre que \sqrt{(x-0)^2+(y-\ln 2)^2}<\delta (ou mesmo |x|+|y-\ln 2|<\delta) teremos \bigl|e^{x-y}-e^{-\ln 2}\bigr|<\varepsilon. Isso confirma a continuidade e portanto o limite obtido.

Passo 6

Conclusão final: o limite existe e é \dfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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