Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes). \lim _{(x, y) \rightarrow(0, \ln 2)} e^{x-y}
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o limite
\lim_{(x,y)\to(0,\ln 2)} e^{x-y}
existe ou não. Os dados fornecidos são:
A função considerada é f(x,y)=e^{x-y}.
O ponto de aproximação é (0,\ln 2).
Portanto a pergunta concreta é: ao fazer (x,y) aproximar-se de (0,\ln 2), o valor de e^{x-y} se aproxima de algum número? Se sim, qual número?
Passo 2
Entendendo o que significa limite em \mathbb{R}^2 (intuição):
Dizer que \lim_{(x,y)\to(0,\ln 2)} f(x,y)=L significa que, quando (x,y) vai para (0,\ln 2) por qualquer caminho (qualquer sequência de pontos que se aproxime do ponto), os valores f(x,y) se aproximam de L.
Uma maneira prática de avaliar limites de funções que são “bozinhas” (sem singularidade) é verificar se a função é contínua no ponto; se for contínua, o limite existe e é igual ao valor da função no ponto.
Passo 3
Analisando f(x,y)=e^{x-y} e por que ela é contínua:
A operação (x,y)\mapsto x-y é simplesmente subtração de coordenadas; isso é uma função polinomial (linear) nas variáveis e é contínua em todo \mathbb{R}^2.
A função exponencial t\mapsto e^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}.
A composição de funções contínuas é contínua. Portanto a composição f(x,y)=e^{x-y} é contínua em todo \mathbb{R}^2, inclusive em (0,\ln 2).
Conclusão imediata: o limite existe e é dado por avaliar a função no ponto:
\lim_{(x,y)\to(0,\ln 2)} e^{x-y} = e^{\,0-\ln 2}.
Passo 4
Calcule o valor explícito:
Primeiro calcule o expoente: 0-\ln 2 = -\ln 2.
Logo
e^{\,0-\ln 2} = e^{-\ln 2}.
Usando a propriedade e^{\ln a}=a (válida para a>0), temos e^{\ln 2}=2. Então
e^{-\ln 2} = \frac{1}{e^{\ln 2}} = \frac{1}{2}.
Passo 5
(Mini prova com ideia \varepsilon-\delta, para fixar a intuição)
Pela regra do valor médio aplicada à função exponencial em variável real, existe um ponto intermediário \xi entre x-y e -\ln 2 tal que
(Mais simplesmente, \bigl|e^{u}-e^{u_0}\bigr| \le M|u-u_0| quando u está em um pequeno intervalo ao redor de u_0, com M uma cota de e^{t} nesse intervalo.)
Se escolhermos uma vizinhança pequena de (0,\ln 2) então x-y fica perto de -\ln 2, logo e^{\xi} fica limitada por algum número M. Assim
Dado \varepsilon>0, basta escolher \delta tal que M\delta<\varepsilon; então sempre que \sqrt{(x-0)^2+(y-\ln 2)^2}<\delta (ou mesmo |x|+|y-\ln 2|<\delta) teremos \bigl|e^{x-y}-e^{-\ln 2}\bigr|<\varepsilon. Isso confirma a continuidade e portanto o limite obtido.
Passo 6
Conclusão final: o limite existe e é \dfrac{1}{2}.