Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
\lim _{P \rightarrow(\pi, \pi, 0)}\left(\operatorname{sen}^{2} x+\cos ^{2} y+\operatorname{sec} ^{2} z\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se existe ou não o limite
\lim_{P\to(\pi,\pi,0)}\big(\sin^{2}x+\cos^{2}y+\operatorname{sec}^{2}z\big),
onde P=(x,y,z). Informações dadas:
  • O ponto de interesse é P_0=(\pi,\pi,0).
  • A função a estudar é f(x,y,z)=\sin^{2}x+\cos^{2}y+\operatorname{sec}^{2}z.
    A pergunta é: o limite quando P se aproxima de P_0 existe? Se existir, qual é o valor?

Passo 2

Plano de ataque (curto e prático): vamos verificar o comportamento de cada parcela da soma separadamente quando P\to P_0. Se cada uma das parcelas tiver limite (real e finito) e não houver problemas de definição, então pelo lema dos limites de soma o limite da soma existe e é a soma dos limites. Vou usar propriedades elementares de continuidade e limites de uma variável aplicada às coordenadas.

Passo 3

Analisando a parcela \sin^{2}x.
  • Lembrete rápido: a função \sin x é contínua em todo \mathbb{R}. A função g(t)=t^{2} é contínua em todo \mathbb{R}. Composição de funções contínuas é contínua.
  • Logo, x\mapsto \sin^{2}x é contínua em todo lugar.
  • Portanto
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,\pi,0)}\sin^{2}x=\sin^{2}\!\big(\pi\big).
  • Calculando \sin\pi=0, temos \sin^{2}\!\big(\pi\big)=0.
Assim a primeira parcela tende para 0.

Passo 4

Analisando a parcela \cos^{2}y.
  • \cos y é contínua em todo \mathbb{R}, e elevando ao quadrado mantemos continuidade.
  • Então
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,\pi,0)}\cos^{2}y=\cos^{2}\!\big(\pi\big).
  • Calculando \cos\pi=-1, temos \cos^{2}\!\big(\pi\big)=(-1)^{2}=1.
Assim a segunda parcela tende para 1.

Passo 5

Analisando a parcela \operatorname{sec}^{2}z.
  • Definição: \operatorname{sec} z=\dfrac{1}{\cos z} e \operatorname{sec}^{2}z=\dfrac{1}{\cos^{2}z}. Essa função só está definida onde \cos z\neq 0.
  • No ponto z=0 temos \cos 0=1\neq 0. Como \cos é contínua, existe um pequeno intervalo em torno de 0 onde \cos z permanece diferente de zero. Por exemplo, pela continuidade existe \delta>0 tal que, se |z-0|<\delta, então |\cos z-1|<\tfrac{1}{2}, o que implica |\cos z|> \tfrac{1}{2} e portanto \cos z\neq 0 nesse intervalo.
  • Logo, em um vizinhança de z=0 a função \operatorname{sec}^{2}z é bem definida e contínua (porque é composição de funções contínuas e divisão por função não-nula).
  • Portanto
\lim_{(x,y,z)\to(\pi,\pi,0)}\operatorname{sec}^{2}z=\operatorname{sec}^{2}\!(0).
  • Calculando \operatorname{sec} 0=\dfrac{1}{\cos 0}=\dfrac{1}{1}=1, então \operatorname{sec}^{2}\!(0)=1.
Assim a terceira parcela tende para 1.

Passo 6

Combinação dos resultados:
  • Como cada parcela tem limite quando P\to P_0 e são finitos, pelo teorema dos limites (limite da soma é soma dos limites)
\lim_{P\to(\pi,\pi,0)}\big(\sin^{2}x+\cos^{2}y+\operatorname{sec}^{2}z\big) = \lim_{P\to P_0}\sin^{2}x + \lim_{P\to P_0}\cos^{2}y + \lim_{P\to P_0}\operatorname{sec}^{2}z.
  • Substituindo os valores obtidos: 0+1+1=2.
Observação didática rápida: o único possível problema nesta função seria se estivéssemos aproximando um ponto onde \cos z=0 (porque aí \operatorname{sec}^{2}z não está definida). Mas no nosso caso \cos 0=1, então não há problema e a continuidade local garante que a passagem ao limite é legal.

Passo 7

Resumo final e incentivo: concluímos que o limite existe e é o valor que obtivemos avaliando cada parcela no ponto. Você está fazendo certo ao checar cada termo separadamente — isso evita surpresas quando há funções como \operatorname{sec} que podem ter pontos de descontinuidade. Vai dar tudo certo na prova!

Resposta

2

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