Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se existe ou não o limite
onde
. Informações dadas:
- O ponto de interesse é
. - A função a estudar é
.
A pergunta é: o limite quandose aproxima de existe? Se existir, qual é o valor?
Passo 2
Plano de ataque (curto e prático): vamos verificar o comportamento de cada parcela da soma separadamente quando
. Se cada uma das parcelas tiver limite (real e finito) e não houver problemas de definição, então pelo lema dos limites de soma o limite da soma existe e é a soma dos limites. Vou usar propriedades elementares de continuidade e limites de uma variável aplicada às coordenadas.
Passo 3
Analisando a parcela
.
- Lembrete rápido: a função
é contínua em todo . A função é contínua em todo . Composição de funções contínuas é contínua. - Logo,
é contínua em todo lugar. - Portanto
- Calculando
, temos .
Assim a primeira parcela tende para
.
Passo 4
Analisando a parcela
.
-
é contínua em todo , e elevando ao quadrado mantemos continuidade. - Então
- Calculando
, temos .
Assim a segunda parcela tende para
.
Passo 5
Analisando a parcela
.
- Definição:
e . Essa função só está definida onde . - No ponto
temos . Como é contínua, existe um pequeno intervalo em torno de onde permanece diferente de zero. Por exemplo, pela continuidade existe tal que, se , então , o que implica e portanto nesse intervalo. - Logo, em um vizinhança de
a função é bem definida e contínua (porque é composição de funções contínuas e divisão por função não-nula). - Portanto
- Calculando
, então .
Assim a terceira parcela tende para
.
Passo 6
Combinação dos resultados:
- Como cada parcela tem limite quando
e são finitos, pelo teorema dos limites (limite da soma é soma dos limites)
- Substituindo os valores obtidos:
.
Observação didática rápida: o único possível problema nesta função seria se estivéssemos aproximando um ponto onde
(porque aí
não está definida). Mas no nosso caso
, então não há problema e a continuidade local garante que a passagem ao limite é legal.
Passo 7
Resumo final e incentivo: concluímos que o limite existe e é o valor que obtivemos avaliando cada parcela no ponto. Você está fazendo certo ao checar cada termo separadamente — isso evita surpresas quando há funções como
que podem ter pontos de descontinuidade. Vai dar tudo certo na prova!