Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se existe o limite
e, se existir, calcular o valor.
Informações dadas e observações iniciais:
- A expressão usa
, portanto estamos trabalhando com raízes reais: isso exige e . - O limite é tomado sobre pares
que se aproximam de com a restrição . Essa restrição garante que o denominador não seja zero nos pontos considerados (veremos isso com mais cuidado adiante).
Passo 2
Domínio e justificativa para manipulações algébricas:
- Como
e , definimos e , com e . - A condição
implica . (Se então , o que contradiz .) - Portanto, ao longo do caminho de aproximação pedido, tem-se
, o que autoriza cancelar um fator quando ele aparece tanto no numerador quanto no denominador.
Passo 3
Mudança de variáveis para simplificar a expressão:
- Faça
e . Então e . - Reescrevendo a função em termos de
e obtemos
Passo 4
Fatoração do numerador (a lição clássica do “diferença de quadrados” + fator comum):
- Use que
e . Assim
Passo 5
Cancelamento e simplificação:
- Como explicado no Passo 2, para os pontos da aproximação temos
, então podemos dividir por sem problema:
- Voltando às variáveis originais,
para todo
com
e
.
Passo 6
Cálculo do limite usando continuidade:
- A função
é soma de funções contínuas em . Em particular, à medida que tem-se e . - Portanto
Passo 7
Interpretação final e justificativa da existência:
- Reduzimos a expressão original, válida em todo ponto com
, a uma função que é claramente contínua em (quando estendida por continuidade) e cujo valor no limite é . - Não há dependência de caminho: qualquer sequência
com dará o mesmo valor após a simplificação acima. Logo o limite existe e é único.