Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
\lim _{\substack{(x, y) \rightarrow(0,0) \\\ x \neq y}} \frac{x-y+2 \sqrt{x}-2 \sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se existe o limite
\lim_{\substack{(x,y)\to(0,0)\x\neq y}} \frac{x-y+2\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}
e, se existir, calcular o valor.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A expressão usa \sqrt{\cdot}, portanto estamos trabalhando com raízes reais: isso exige x\ge 0 e y\ge 0.
  • O limite é tomado sobre pares (x,y) que se aproximam de (0,0) com a restrição x\neq y. Essa restrição garante que o denominador \sqrt{x}-\sqrt{y} não seja zero nos pontos considerados (veremos isso com mais cuidado adiante).

Passo 2

Domínio e justificativa para manipulações algébricas:
  • Como x\ge 0 e y\ge 0, definimos a=\sqrt{x} e b=\sqrt{y}, com a\ge 0 e b\ge 0.
  • A condição x\neq y implica a\neq b. (Se a=b então x=a^2=b^2=y, o que contradiz x\neq y.)
  • Portanto, ao longo do caminho de aproximação pedido, tem-se a-b\neq 0, o que autoriza cancelar um fator a-b quando ele aparece tanto no numerador quanto no denominador.

Passo 3

Mudança de variáveis para simplificar a expressão:
  • Faça a=\sqrt{x} e b=\sqrt{y}. Então x=a^2 e y=b^2.
  • Reescrevendo a função em termos de a e b obtemos
\frac{x-y+2\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \frac{a^2-b^2+2a-2b}{a-b}.

Passo 4

Fatoração do numerador (a lição clássica do “diferença de quadrados” + fator comum):
  • Use que a^2-b^2=(a-b)(a+b) e 2a-2b=2(a-b). Assim
a^2-b^2+2a-2b=(a-b)(a+b)+2(a-b)=(a-b)\bigl(a+b+2\bigr).

Passo 5

Cancelamento e simplificação:
  • Como explicado no Passo 2, para os pontos da aproximação temos a-b\neq 0, então podemos dividir por a-b sem problema:
\frac{a^2-b^2+2a-2b}{a-b}=a+b+2.
  • Voltando às variáveis originais,
\frac{x-y+2\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}+2,
para todo (x,y) com x\ge0,\;y\ge0 e x\neq y.

Passo 6

Cálculo do limite usando continuidade:
  • A função (x,y)\mapsto \sqrt{x}+\sqrt{y}+2 é soma de funções contínuas em [0,\infty)\times[0,\infty). Em particular, à medida que (x,y)\to(0,0) tem-se \sqrt{x}\to 0 e \sqrt{y}\to 0.
  • Portanto
\lim_{\substack{(x,y)\to(0,0)\x\neq y}} \frac{x-y+2\sqrt{x}-2\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} = \lim_{(x,y)\to(0,0)} \bigl(\sqrt{x}+\sqrt{y}+2\bigr) =0+0+2=2.

Passo 7

Interpretação final e justificativa da existência:
  • Reduzimos a expressão original, válida em todo ponto com x\neq y, a uma função que é claramente contínua em (0,0) (quando estendida por continuidade) e cujo valor no limite é 2.
  • Não há dependência de caminho: qualquer sequência (x_n,y_n)\to(0,0) com x_n\neq y_n dará o mesmo valor 2 após a simplificação acima. Logo o limite existe e é único.

Resposta

2

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