Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor. O que foi dado:
- A função cujo limite devemos estudar é
. - O ponto de referência é
.
Portanto a pergunta é: existe
Se sim, qual é o valor numérico desse limite?
Passo 2
Lembrete rápido e intuitivo do que é limite em duas variáveis: o limite de uma função
em um ponto
existe e vale
se, ao aproximarmos
de
por qualquer caminho (qualquer direção), os valores
se aproximarem de
. Uma forma prática muito usada em exercícios é perceber quando a função é contínua no ponto: para funções construídas com soma, produto, quociente (com denominador não nulo) e funções elementares contínuas (polinômios, seno, cosseno, etc.), o limite pode ser obtido por substituição direta — o limite existe e é o valor da função no ponto.
Passo 3
Vou identificar os blocos da função e afirmar sua continuidade:
- A função
é contínua. - A função
é contínua. - A função
é contínua e satisfaz para todo , logo nunca é zero (portanto não há problema de dividir por zero no ponto considerado). - Produtos e quocientes de funções contínuas (quando o denominador não é zero no ponto) são contínuos.
Assim a função
é contínua em todo
, em particular em
. Pelo fato de ser contínua, o limite quando
é simplesmente o valor da função nesse ponto.
Passo 4
Aplicando as propriedades de limites (limite do produto é produto dos limites, limite do quociente é quociente dos limites se o denominador do limite não é zero), calculo as partes:
- Primeiro,
- Segundo,
(seno de é .) - Portanto o numerador tende a
- Terceiro,
Agora o quociente dos limites (denominador não nulo) é
Comentário extra didático (para a prova): sempre que a função for formada por operações elementares e o denominador não anular no ponto, dá para usar substituição direta. Se o denominador fosse zero no ponto, aí precisaríamos investigar por caminhos ou fatorar/simplificar. Aqui não há esse problema porque
sempre.