Para cada um dos itens abaixo, decida se o limite existe ou não. Caso exista, calcule o seu valor; caso não exista, apresente um argumento que justifique a não existência (como a verificação por caminhos diferentes).
\lim _{(x, y) \rightarrow(1, \pi / 6)} \frac{x \operatorname{sen} y}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o limite existe e, se existir, calcular o seu valor. O que foi dado:
  • A função cujo limite devemos estudar é \dfrac{x\operatorname{sen} y}{x^{2}+1}.
  • O ponto de referência é (x,y)\to(1,\pi/6).
Portanto a pergunta é: existe
\lim_{(x,y)\rightarrow(1,\pi/6)} \frac{x\operatorname{sen} y}{x^{2}+1}?
Se sim, qual é o valor numérico desse limite?

Passo 2

Lembrete rápido e intuitivo do que é limite em duas variáveis: o limite de uma função f(x,y) em um ponto (a,b) existe e vale L se, ao aproximarmos (x,y) de (a,b) por qualquer caminho (qualquer direção), os valores f(x,y) se aproximarem de L. Uma forma prática muito usada em exercícios é perceber quando a função é contínua no ponto: para funções construídas com soma, produto, quociente (com denominador não nulo) e funções elementares contínuas (polinômios, seno, cosseno, etc.), o limite pode ser obtido por substituição direta — o limite existe e é o valor da função no ponto.

Passo 3

Vou identificar os blocos da função e afirmar sua continuidade:
  • A função x\mapsto x é contínua.
  • A função y\mapsto \operatorname{sen} y é contínua.
  • A função x\mapsto x^{2}+1 é contínua e satisfaz x^{2}+1\ge 1 para todo x, logo nunca é zero (portanto não há problema de dividir por zero no ponto considerado).
  • Produtos e quocientes de funções contínuas (quando o denominador não é zero no ponto) são contínuos.
Assim a função \dfrac{x\operatorname{sen} y}{x^{2}+1} é contínua em todo \mathbb{R}^2, em particular em (1,\pi/6). Pelo fato de ser contínua, o limite quando (x,y)\to(1,\pi/6) é simplesmente o valor da função nesse ponto.

Passo 4

Aplicando as propriedades de limites (limite do produto é produto dos limites, limite do quociente é quociente dos limites se o denominador do limite não é zero), calculo as partes:
  • Primeiro, \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,\pi/6)} x = 1.
  • Segundo, \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,\pi/6)} \operatorname{sen} y = \operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}. (seno de \pi/6 é 1/2.)
  • Portanto o numerador tende a 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
  • Terceiro, \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,\pi/6)} (x^{2}+1)=1^{2}+1=2.
Agora o quociente dos limites (denominador não nulo) é
\frac{\tfrac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}.
Comentário extra didático (para a prova): sempre que a função for formada por operações elementares e o denominador não anular no ponto, dá para usar substituição direta. Se o denominador fosse zero no ponto, aí precisaríamos investigar por caminhos ou fatorar/simplificar. Aqui não há esse problema porque x^{2}+1\ge 1 sempre.

Resposta

\dfrac{1}{4}

Exercícios relacionados