Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
dois números naturais associa seu MDC;

Passo 1

O enunciado pede: definir (com domínio e contradomínio) e determinar se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada dois números naturais associa seu MDC.\n
Informações relevantes dadas (implícitas no enunciado): temos pares de números naturais e a operação que associa a cada par o seu máximo divisor comum (MDC). Não foi especificado se \mathbb{N} contém o zero; vou adotar a convenção usual aqui: \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}.

Passo 2

Definição do que é MDC (para garantir que entendemos a função): dado a,b\in\mathbb{N}, chamamos \gcd(a,b) (ou MDC) o maior número natural d tal que d divide a e d divide b. Aqui “divide” significa: d divide a se existe k\in\mathbb{N} com a=d\cdot k. Exemplos simples para fixar a ideia: \gcd(6,15)=3 porque 3 é o maior natural que divide tanto 6 quanto 15; \gcd(7,5)=1 porque não têm divisores comuns maiores que 1.

Passo 3

Definição da função pedida (indicando domínio e contradomínio): defino
f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N}
por
f(a,b)=\gcd(a,b),
para todo (a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}. Aqui o domínio é \mathbb{N}\times\mathbb{N} (pares ordenados de naturais) e o contradomínio é \mathbb{N}.

Passo 4

Conceito de injetividade (explicação didática): f é injetiva se pares distintos no domínio nunca têm a mesma imagem; formalmente,
f\text{ é injetiva} \iff \big(\forall (a,b),(c,d)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N},\; f(a,b)=f(c,d)\Rightarrow (a,b)=(c,d)\big).é
Teste prático para ver se f é injetiva: basta encontrar dois pares diferentes que têm a mesma imagem. Vou dar um exemplo geral e depois um exemplo numérico concreto. Para qualquer k\in\mathbb{N} temos
\gcd(k,k)=k
porque k é divisor de k e não existe divisor comum maior que k. Também
\gcd(k,2k)=k
porque qualquer divisor comum de k e 2k divide k, e k divide ambos, logo o máximo divisor comum é k. Portanto os pares (k,k) e (k,2k) são distintos (pois k\neq 2k para k\ge 1) mas têm a mesma imagem k. Exemplo concreto: \gcd(2,4)=2 e \gcd(2,2)=2; os pares (2,4) e (2,2) são diferentes mas têm a mesma imagem. Conclusão: f não é injetiva.

Passo 5

Conceito de sobrejetividade (explicação didática): f é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio é imagem de algum elemento do domínio; formalmente,
f\text{ é sobrejetiva} \iff \big(\forall y\in\mathbb{N},\; \exists (a,b)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}\text{ tal que }f(a,b)=y\big).é
Prova de que f é sobrejetiva: tome qualquer y\in\mathbb{N}. Basta encontrar um par (a,b) com \gcd(a,b)=y. Uma escolha óbvia é (a,b)=(y,y). Como já argumentamos,
\gcd(y,y)=y.
Logo para cada y\in\mathbb{N} existe pelo menos um par (y,y) que tem imagem y. Assim f é sobrejetiva.

Passo 6

Conclusão final sobre bijetividade: uma função é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Aqui vimos que f é sobrejetiva mas não é injetiva. Portanto f não é bijetiva.\n
(Observação curta: se alguém usar a convenção \mathbb{N} contendo 0, convém verificar a definição de \gcd(0,0); por segurança escolhemos \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\} para evitar essa sutileza.)

Resposta

f:\mathbb{N}\times\mathbb{N}\to\mathbb{N},\; f(a,b)=\gcd(a,b). \nSobrejetiva, não injetiva (logo não bijetiva).

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