Determine se:
Z=\{A \times B ; A, B \subset \mathbb{R}\}=\mathcal{P}(\mathbb{R} \times \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado pergunta se o conjunto
Z=\{A\times B \;|\; A,B\subset\mathbb{R}\}
é igual ao conjunto das partes de \mathbb{R}\times\mathbb{R}, ou seja se
Z=\mathcal{P}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}).
Informações dadas: podemos formar conjuntos do tipo A\times B onde A e B são quaisquer subconjuntos de \mathbb{R}. O que se pede: decidir se todo subconjunto de \mathbb{R}\times\mathbb{R} é da forma A\times B (ou seja se cada subconjunto de \mathbb{R}^2 é um produto cartesiano de dois subconjuntos de \mathbb{R}).

Passo 2

Vou lembrar com calma o que significam as definições que precisamos usar.
Definição do produto cartesiano: para conjuntos A e B definidos em \mathbb{R},
A\times B=\{(x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R} \;|\; x\in A,\; y\in B\}.
Isso quer dizer: todos os pares ordenados cuja primeira coordenada vem de A e a segunda vem de B.
Definição da potência (conjunto das partes): para um conjunto X,
\mathcal{P}(X)
é o conjunto de todos os subconjuntos de X. No nosso caso, \mathcal{P}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}) é o conjunto de todos os subconjuntos possíveis do plano \mathbb{R}^2.
Exemplo concreto curto para fixar: se A=\{0,1\} e B=\{2,3\} então
A\times B=\{(0,2),(0,3),(1,2),(1,3)\}.
Perceba que em um produto cartesiano, para cada x\in A combinamos com todo y\in B — isso é importante para o raciocínio que vem.

Passo 3

Estratégia para responder: tipicamente, para mostrar que dois conjuntos não são iguais basta encontrar um elemento do segundo que não pertence ao primeiro (ou vice-versa). Aqui queremos ver se existe algum subconjunto de \mathbb{R}\times\mathbb{R} que não consiga ser escrito como A\times B. Se encontrarmos um subconjunto S\subset\mathbb{R}\times\mathbb{R} que não seja igual a nenhum produto A\times B, então teremos provado que
Z\neq\mathcal{P}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}).
Um candidato natural e simples para testar é a diagonal do plano:
D=\{(x,x)\;|\; x\in\mathbb{R}\}.
Vou tentar mostrar que D não pode ser escrito como A\times B para quaisquer A,B\subset\mathbb{R}.

Passo 4

Prova por contradição direta: suponha, para contradizer, que exista A,B\subset\mathbb{R} tais que
A\times B = D.
Primeiro nota: D é não vazio (por exemplo (0,0)\in D), então A\times B também deve ser não vazio, logo A e B não podem ser ambos vazios. Portanto podemos escolher um elemento a\in A.
Agora considere qualquer elemento b\in B. Como a\in A e b\in B, o par (a,b) pertence a A\times B. Mas A\times B=D, então (a,b)\in D. Pela definição de D isso implica b=a. Assim todo b\in B satisfaz b=a, logo
B\subset\{a\}.
Portanto B é ou \varnothing ou \{a\}. Mas B não pode ser \varnothing porque então A\times B=\varnothing\neq D. Logo B=\{a\}.
Com B=\{a\} temos
A\times B = A\times\{a\}=\{(x,a)\;|\; x\in A\}.
Mas A\times B deveria ser igual a D=\{(x,x)\;|\; x\in\mathbb{R}\}. Para que \{(x,a)\;|\; x\in A\}=\{(x,x)\;|\; x\in\mathbb{R}\} fosse verdade, cada ponto (x,x) do lado direito teria de aparecer no lado esquerdo; em particular, para qualquer x\in\mathbb{R} teríamos (x,x)=(y,a) para algum y\in A. Então isso forçaria a=x para todo x\in\mathbb{R}, o que é impossível (não existe número a igual a todos os x\in\mathbb{R}). Outra forma mais direta de ver a contradição: se B=\{a\} então A\times B só contém pares cuja segunda coordenada é a; portanto não contém nenhum par (b,b) com b\neq a. Mas D contém (b,b) para todo b\in\mathbb{R}, inclusive b\neq a. Logo não há igualdade.
Conclusão: a suposição de que existe A,B com A\times B=D levou a contradição. Portanto não existem tais A,B, e D não é elemento de Z.

Passo 5

Interpretando o resultado: encontramos um subconjunto do plano, a diagonal D, que pertence a \mathcal{P}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}) (claro), mas que não pertence a Z. Assim Z não contém todos os subconjuntos de \mathbb{R}\times\mathbb{R}. Logo Z é estritamente menor que \mathcal{P}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}).
Intuição rápida: um produto cartesiano tem a propriedade especial de “ser completo por retas paralelas aos eixos”: se (x_0,y_0)\in A\times B então para todo x_0 fixo você tem (x_0,y)\in A\times B para todo y\in B. A diagonal não tem essa propriedade — se você fixa a primeira coordenada x_0 só existe um ponto (x_0,x_0), não uma reta com todos os y\in B. Essa diferença estrutural impede representar muitos subconjuntos (como a diagonal) como produtos cartesianos.

Resposta

Não; por exemplo a diagonal \{(x,x)\;|\; x\in\mathbb{R}\} pertence a \mathcal{P}(\mathbb{R}\times\mathbb{R}) mas não pode ser escrita como A\times B com A,B\subset\mathbb{R}.

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