Determine se:
.
Passo 1
O enunciado pergunta se o conjunto
é igual ao conjunto das partes de
, ou seja se
Informações dadas: podemos formar conjuntos do tipo
onde
e
são quaisquer subconjuntos de
. O que se pede: decidir se todo subconjunto de
é da forma
(ou seja se cada subconjunto de
é um produto cartesiano de dois subconjuntos de
).
Passo 2
Vou lembrar com calma o que significam as definições que precisamos usar.
Definição do produto cartesiano: para conjuntos
e
definidos em
,
Isso quer dizer: todos os pares ordenados cuja primeira coordenada vem de
e a segunda vem de
.
Definição da potência (conjunto das partes): para um conjunto
,
é o conjunto de todos os subconjuntos de
. No nosso caso,
é o conjunto de todos os subconjuntos possíveis do plano
.
Exemplo concreto curto para fixar: se
e
então
Perceba que em um produto cartesiano, para cada
combinamos com todo
— isso é importante para o raciocínio que vem.
Passo 3
Estratégia para responder: tipicamente, para mostrar que dois conjuntos não são iguais basta encontrar um elemento do segundo que não pertence ao primeiro (ou vice-versa). Aqui queremos ver se existe algum subconjunto de
que não consiga ser escrito como
. Se encontrarmos um subconjunto
que não seja igual a nenhum produto
, então teremos provado que
Um candidato natural e simples para testar é a diagonal do plano:
Vou tentar mostrar que
não pode ser escrito como
para quaisquer
.
Passo 4
Prova por contradição direta: suponha, para contradizer, que exista
tais que
Primeiro nota:
é não vazio (por exemplo
), então
também deve ser não vazio, logo
e
não podem ser ambos vazios. Portanto podemos escolher um elemento
.
Agora considere qualquer elemento
. Como
e
, o par
pertence a
. Mas
, então
. Pela definição de
isso implica
. Assim todo
satisfaz
, logo
Portanto
é ou
ou
. Mas
não pode ser
porque então
. Logo
.
Com
temos
Mas
deveria ser igual a
. Para que
fosse verdade, cada ponto
do lado direito teria de aparecer no lado esquerdo; em particular, para qualquer
teríamos
para algum
. Então isso forçaria
para todo
, o que é impossível (não existe número
igual a todos os
). Outra forma mais direta de ver a contradição: se
então
só contém pares cuja segunda coordenada é
; portanto não contém nenhum par
com
. Mas
contém
para todo
, inclusive
. Logo não há igualdade.
Conclusão: a suposição de que existe
com
levou a contradição. Portanto não existem tais
, e
não é elemento de
.
Passo 5
Interpretando o resultado: encontramos um subconjunto do plano, a diagonal
, que pertence a
(claro), mas que não pertence a
. Assim
não contém todos os subconjuntos de
. Logo
é estritamente menor que
.
Intuição rápida: um produto cartesiano tem a propriedade especial de “ser completo por retas paralelas aos eixos”: se
então para todo
fixo você tem
para todo
. A diagonal não tem essa propriedade — se você fixa a primeira coordenada
só existe um ponto
, não uma reta com todos os
. Essa diferença estrutural impede representar muitos subconjuntos (como a diagonal) como produtos cartesianos.
Resposta
Não; por exemplo a diagonal
pertence a
mas não pode ser escrita como
com
.