Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
função derivável
associa sua derivada;
função derivável
Passo 1
O enunciado pede: definir (indicando domínio e contradomínio) e dizer se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva a aplicação que a cada função derivável
associa sua derivada.
Informações dadas: a cada função (que é diferenciável em toda
) associamos a função
(a sua derivada), que também é uma função
.
O que precisamos entregar: uma definição clara da função-que-associa-a-derivada (com domínio e contradomínio) e a classificação quanto a injetividade, sobrejetividade e bijetividade.
Informações dadas: a cada função
O que precisamos entregar: uma definição clara da função-que-associa-a-derivada (com domínio e contradomínio) e a classificação quanto a injetividade, sobrejetividade e bijetividade.
Passo 2
Definindo explicitamente domínio e contradomínio. Vou usar notação simples e clara: seja
Como contradomínio posso escolher o conjunto de todas as funções
, que denoto por
. Defino então a aplicação
(Obs.:
existe em cada ponto porque
.)
Passo 3
Recordando o que significa ser injetiva, sobrejetiva e bijetiva, de forma bem prática:
- Uma função
é injetiva se sempre que então . Em palavras: imagens iguais implicam elementos iguais. -
é sobrejetiva se para todo existe tal que . Em palavras: todo elemento do contradomínio é atingido. - Bijetiva significa ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.
Passo 4
Testando injetividade. Vou primeiro dar um contraexemplo simples que mostra que
não é injetiva: considere
Ambas são diferenciáveis em
e
logo
mas
(porque
). Assim
não é injetiva.
Agora uma explicação mais geral (útil para a prova): se
então
em
. Pelo Teorema de Rolle / Teorema do Valor Médio, se uma função tem derivada zero em todo o intervalo então ela é constante. Portanto
é constante, isto é,
e
diferem por uma constante. Conclusão:
não é injetiva; seu núcleo (as funções que vão para a função zero) é exatamente o conjunto das funções constantes.
Passo 5
Testando sobrejetividade. Queremos saber se todo [g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) (qualquer função) é da forma
para algum
. A resposta é não. A razão teórica principal é que derivadas possuem uma propriedade topológica chamada propriedade de Darboux: qualquer derivada tem a propriedade do valor intermediário (ou seja, não pode ter saltos bruscos). Em termos práticos: se
é derivada de alguma função então, sempre que
, existe
com
. Portanto derivadas não podem apresentar saltos do tipo de uma função que pula de um valor para outro sem atingir os valores intermediários.
Um contraexemplo explícito de função que não é derivada: defina
Essa
e não tem a propriedade do valor intermediário, logo não existe
com
. Assim
não é sobrejetiva quando o contradomínio é
. (Observação pedagógica: existem funções estranhas que são derivadas mas discontinuas; contudo elas ainda satisfazem Darboux — não admitem saltos.)]
Passo 6
Resumo e pequenas observações úteis para a prova: com a escolha natural
temos mostrado que
não é injetiva e não é sobrejetiva; portanto não é bijetiva. Complemento útil: se restringirmos o contradomínio para o conjunto das funções que realmente são derivadas (isto é, a imagem de
), então
passa a ser sobrejetiva por definição, mas continua não sendo injetiva (pois funções que diferem por constantes têm mesma derivada). Se quisermos forçar injetividade podemos restringir o domínio, por exemplo exigir
; aí derivada igual implica igualdade da primitiva escolhida e a aplicação fica injetiva (mas ainda não sobrejetiva para
).
Resposta
Definindo
e
essa aplicação não é injetiva (ex.:
e
têm mesma imagem) e não é sobrejetiva (ex.: a função em salto
para
,
para
não é derivada de nenhuma função), logo
não é bijetiva.