Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
função derivável f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} associa sua derivada;

Passo 1

O enunciado pede: definir (indicando domínio e contradomínio) e dizer se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva a aplicação que a cada função derivável f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} associa sua derivada.
Informações dadas: a cada função f (que é diferenciável em toda \mathbb{R}) associamos a função f' (a sua derivada), que também é uma função \mathbb{R}\to\mathbb{R}.
O que precisamos entregar: uma definição clara da função-que-associa-a-derivada (com domínio e contradomínio) e a classificação quanto a injetividade, sobrejetividade e bijetividade.

Passo 2

Definindo explicitamente domínio e contradomínio. Vou usar notação simples e clara: seja
\mathcal{D}=\{\,f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f\text{ é diferenciável em cada }x\in\mathbb{R}\,\}.éá
Como contradomínio posso escolher o conjunto de todas as funções \mathbb{R}\to\mathbb{R}, que denoto por \mathbb{R}^{\mathbb{R}}. Defino então a aplicação
T:\mathcal{D}\to\mathbb{R}^{\mathbb{R}},\qquad T(f)=f'.
(Obs.: f' existe em cada ponto porque f\in\mathcal{D}.)

Passo 3

Recordando o que significa ser injetiva, sobrejetiva e bijetiva, de forma bem prática:
  • Uma função T é injetiva se sempre que T(f_1)=T(f_2) então f_1=f_2. Em palavras: imagens iguais implicam elementos iguais.
  • T é sobrejetiva se para todo g\in\mathbb{R}^{\mathbb{R}} existe f\in\mathcal{D} tal que T(f)=g. Em palavras: todo elemento do contradomínio é atingido.
  • Bijetiva significa ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva.

Passo 4

Testando injetividade. Vou primeiro dar um contraexemplo simples que mostra que T não é injetiva: considere
f(x)=x\qquad\text{e}\qquad g(x)=x+1.
Ambas são diferenciáveis em \mathbb{R} e
f'(x)=1=g'(x)\quad\text{para todo }x,
logo T(f)=T(g) mas f\neq g (porque g-f\equiv 1\neq 0). Assim T não é injetiva.
Agora uma explicação mais geral (útil para a prova): se T(f_1)=T(f_2) então (f_1-f_2)'=0 em \mathbb{R}. Pelo Teorema de Rolle / Teorema do Valor Médio, se uma função tem derivada zero em todo o intervalo então ela é constante. Portanto f_1-f_2 é constante, isto é, f_1 e f_2 diferem por uma constante. Conclusão: T não é injetiva; seu núcleo (as funções que vão para a função zero) é exatamente o conjunto das funções constantes.

Passo 5

Testando sobrejetividade. Queremos saber se todo [g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) (qualquer função) é da forma g=f' para algum f\in\mathcal{D}. A resposta é não. A razão teórica principal é que derivadas possuem uma propriedade topológica chamada propriedade de Darboux: qualquer derivada tem a propriedade do valor intermediário (ou seja, não pode ter saltos bruscos). Em termos práticos: se h é derivada de alguma função então, sempre que h(a)<c<h(b), existe t\in(a,b) com h(t)=c. Portanto derivadas não podem apresentar saltos do tipo de uma função que pula de um valor para outro sem atingir os valores intermediários.
Um contraexemplo explícito de função que não é derivada: defina
g(x)=\begin{cases} 0,&x<0,\\[4pt] 1,&x\ge 0. \end{cases}
Essa g\] tem um salto em \(0 e não tem a propriedade do valor intermediário, logo não existe f\in\mathcal{D} com f'=g. Assim T não é sobrejetiva quando o contradomínio é \mathbb{R}^{\mathbb{R}}. (Observação pedagógica: existem funções estranhas que são derivadas mas discontinuas; contudo elas ainda satisfazem Darboux — não admitem saltos.)]

Passo 6

Resumo e pequenas observações úteis para a prova: com a escolha natural
T:\mathcal{D}\to\mathbb{R}^{\mathbb{R}},\qquad T(f)=f',
temos mostrado que T não é injetiva e não é sobrejetiva; portanto não é bijetiva. Complemento útil: se restringirmos o contradomínio para o conjunto das funções que realmente são derivadas (isto é, a imagem de T), então T passa a ser sobrejetiva por definição, mas continua não sendo injetiva (pois funções que diferem por constantes têm mesma derivada). Se quisermos forçar injetividade podemos restringir o domínio, por exemplo exigir f(0)=0; aí derivada igual implica igualdade da primitiva escolhida e a aplicação fica injetiva (mas ainda não sobrejetiva para \mathbb{R}^{\mathbb{R}}).

Resposta

Definindo \mathcal{D}=\{f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\mid f\text{ é diferenciável em }\mathbb{R}\}éá e
T:\mathcal{D}\to\mathbb{R}^{\mathbb{R}},\qquad T(f)=f',
essa aplicação não é injetiva (ex.: x e x+1 têm mesma imagem) e não é sobrejetiva (ex.: a função em salto g(x)=0 para x<0, g(x)=1 para x\ge0 não é derivada de nenhuma função), logo T não é bijetiva.

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