Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
subconjunto não vazio de \mathbb{N} associa seu menor elemento;

Passo 1

O enunciado pede: definir (indicando domínio e contradomínio) e dizer se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva a função que a cada subconjunto não vazio de \mathbb{N} associa seu menor elemento.
Informações dadas e que vou usar: o conjunto das partes de \mathbb{N} (a família de todos os subconjuntos) e a operação “pegar o menor elemento” de um subconjunto não vazio. Não há outras condições escondidas no enunciado.

Passo 2

Defino precisamente domínio e contradomínio e a regra da função. O domínio é a coleção de todos os subconjuntos não vazios de \mathbb{N}, que escrevemos como \mathcal{P}(\mathbb{N})\setminus\{\emptyset\}. O contradomínio é \mathbb{N}. A regra é “pegar o mínimo do conjunto”. Em notação:
f:\mathcal{P}(\mathbb{N})\setminus\{\emptyset\}\to\mathbb{N},\qquad f(A)=\min A.

Passo 3

Por que \min A faz sentido para todo A do domínio? Aqui uso uma propriedade fundamental dos naturais: o princípio do bom ordenamento (well-ordering principle), que diz que todo subconjunto não vazio de \mathbb{N} tem um menor elemento. Em palavras: se A\subseteq\mathbb{N} e A\neq\emptyset, então existe m\in A tal que m\le a para todo a\in A. Assim, \min A está bem definido e pertence a \mathbb{N}.
Exemplo simples para fixar a ideia: se A=\{3,7,10\} então \min A=3. Se A=\{5\} então \min A=5.

Passo 4

Definição de injetividade e teste prático. Uma função é injetiva se entradas diferentes dão imagens diferentes; formalmente, f é injetiva se
\text{para todo }A,B,\; f(A)=f(B)\Rightarrow A=B.
Para testar injetividade basta encontrar dois conjuntos distintos com a mesma imagem; isso já prova que a função não é injetiva.
Construo um contraexemplo simples: tome
A=\{1\},\qquad B=\{1,2\}.
Ambos são subconjuntos não vazios de \mathbb{N}, logo estão no domínio. Calculando as imagens:
f(A)=\min\{1\}=1,\qquad f(B)=\min\{1,2\}=1.
Assim f(A)=f(B) mas A\neq B. Logo f não é injetiva.

Passo 5

Definição de sobrejetividade e prova. Uma função é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um antecedente no domínio; formalmente, f é sobrejetiva se
\text{para todo }n\in\mathbb{N}\text{ existe }A\subseteq\mathbb{N},\;A\neq\emptyset,\text{ tal que }f(A)=n.
Dado um n\in\mathbb{N}, eu posso escolher o conjunto \{n\}, que pertence ao domínio. A imagem é
f(\{n\})=\min\{n\}=n.
Portanto para qualquer n existe um antecedente (por exemplo \{n\}), o que prova que f é sobrejetiva.

Passo 6

Conclusão sobre bijetividade. Uma função é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Já mostramos que f é sobrejetiva, mas não é injetiva. Logo f não é bijetiva.

Resposta

f:\mathcal{P}(\mathbb{N})\setminus\{\emptyset\}\to\mathbb{N},\qquad f(A)=\min A
Não injetiva; sobrejetiva; portanto não bijetiva.

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