Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
subconjunto não vazio de
associa seu menor elemento;
subconjunto não vazio de
Passo 1
O enunciado pede: definir (indicando domínio e contradomínio) e dizer se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva a função que a cada subconjunto não vazio de
associa seu menor elemento.
Informações dadas e que vou usar: o conjunto das partes de (a família de todos os subconjuntos) e a operação “pegar o menor elemento” de um subconjunto não vazio. Não há outras condições escondidas no enunciado.
Informações dadas e que vou usar: o conjunto das partes de
Passo 2
Defino precisamente domínio e contradomínio e a regra da função. O domínio é a coleção de todos os subconjuntos não vazios de
, que escrevemos como
. O contradomínio é
. A regra é “pegar o mínimo do conjunto”. Em notação:
Passo 3
Por que
faz sentido para todo
do domínio? Aqui uso uma propriedade fundamental dos naturais: o princípio do bom ordenamento (well-ordering principle), que diz que todo subconjunto não vazio de
tem um menor elemento. Em palavras: se
e
, então existe
tal que
para todo
. Assim,
está bem definido e pertence a
.
Exemplo simples para fixar a ideia: se
então
. Se
então
.
Passo 4
Definição de injetividade e teste prático. Uma função é injetiva se entradas diferentes dão imagens diferentes; formalmente,
é injetiva se
Para testar injetividade basta encontrar dois conjuntos distintos com a mesma imagem; isso já prova que a função não é injetiva.
Construo um contraexemplo simples: tome
Ambos são subconjuntos não vazios de
, logo estão no domínio. Calculando as imagens:
Assim
mas
. Logo
não é injetiva.
Passo 5
Definição de sobrejetividade e prova. Uma função é sobrejetiva se todo elemento do contradomínio tem pelo menos um antecedente no domínio; formalmente,
é sobrejetiva se
Dado um
, eu posso escolher o conjunto
, que pertence ao domínio. A imagem é
Portanto para qualquer
existe um antecedente (por exemplo
), o que prova que
é sobrejetiva.
Passo 6
Conclusão sobre bijetividade. Uma função é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Já mostramos que
é sobrejetiva, mas não é injetiva. Logo
não é bijetiva.
Resposta
Não injetiva; sobrejetiva; portanto não bijetiva.