Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
função integrável f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} associa o valor de sua integral.

Passo 1

O enunciado pede que eu defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva a função que associa a cada função integrável f:[0,1]\to\mathbb{R} o valor da sua integral sobre [0,1].
Informações relevantes dadas:
  • O objeto que mapeia são as funções integráveis em [0,1].
  • A imagem de cada tal função é o número real igual à integral de f em [0,1].
    Nesta etapa só identifiquei o que o problema pede e os dados; não comecei a resolver.

Passo 2

Definição da função (domínio, contradomínio e regra): vou escrever claramente o espaço de partida e a regra do mapeamento.
Defino
\mathcal{I}=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}\mid f\\ \text{é integrável em }[0,1]\}.éá
A função procurada é
I:\mathcal{I}\to\mathbb{R},\qquad I(f)=\int_{0}^{1} f(x)\,dx.
Aqui I toma uma função integrável f e devolve um número real (o valor da integral). Isso responde à parte de “defina (indicando domínio e contradomínio)”.

Passo 3

Lembrete didático: o que significa injetiva, sobrejetiva e bijetiva?
  • Injetiva (ou um-para-um): I é injetiva se sempre que I(f)=I(g) então necessariamente f=g (isto é, duas funções diferentes não podem ter a mesma imagem).
  • Sobrejetiva (ou onto): I é sobrejetiva se para todo y\in\mathbb{R} existe f\in\mathcal{I} tal que I(f)=y.
  • Bijetiva: é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.

Passo 4

Mostrando que I não é injetiva (passo a passo e com exemplo explícito).
Para provar que não é injetiva basta encontrar duas funções diferentes f,g\in\mathcal{I} tais que I(f)=I(g). Vou dar dois exemplos simples e fáceis de calcular:
Exemplo 1 (função constante zero e seno):
  • Tome f(x)=0 para todo x\in[0,1]. Claramente f\in\mathcal{I} e
I(f)=\int_{0}^{1}0\,dx=0.
  • Tome g(x)=\sin(2\pi x) para x\in[0,1]. A função g é contínua, logo integrável, e
I(g)=\int_{0}^{1}\sin(2\pi x)\,dx.
Calculo do integral:
\int \sin(2\pi x)\,dx = -\frac{1}{2\pi}\cos(2\pi x)+C,
então
I(g)=-\frac{1}{2\pi}\bigl(\cos(2\pi\cdot 1)-\cos(2\pi\cdot 0)\bigr) =-\frac{1}{2\pi}(1-1)=0.
Logo I(f)=I(g)=0, mas f\neq g (por exemplo g(1/4)=1 enquanto f(1/4)=0). Assim I não é injetiva.
Comentário intuitivo: muitos diferentes sinais e flutuações na função podem “cancelar” na integral e dar o mesmo número; isso é muito comum.

Passo 5

Mostrando que I é sobrejetiva (construção explícita para qualquer real).
Queremos mostrar: dado um y\in\mathbb{R}, existe f\in\mathcal{I} tal que I(f)=y.
Construção simples: escolha a função constante igual a y,
f_y(x)=y\quad\text{para todo }x\in[0,1].
Essa função é contínua (portanto integrável) e sua integral é
I(f_y)=\int_{0}^{1} y\,dx = y\cdot\int_{0}^{1}1\,dx = y\cdot 1 = y.
Assim para qualquer y\in\mathbb{R} encontramos f_y\in\mathcal{I} com I(f_y)=y. Portanto I é sobrejetiva.

Passo 6

Observação extra útil para a prova (intuitiva e prática): I é uma aplicação linear (um funcional linear) do espaço de funções integráveis para \mathbb{R}, isto é, para f,g\in\mathcal{I} e escalares a,b\in\mathbb{R} vale
I(af+bg)=aI(f)+bI(g).
O kernel (núcleo) de I é o conjunto \{f\in\mathcal{I}\mid I(f)=0\}, que é um subespaço não trivial (por exemplo contém \sin(2\pi x)), o que explica porque I não é injetiva.

Passo 7

Conclusão final (resumo claro e direto do que foi pedido): I está bem definida de \mathcal{I} em \mathbb{R}; ela não é injetiva e é sobrejetiva, portanto não é bijetiva.

Resposta

Definição: I:\mathcal{I}\to\mathbb{R}, \displaystyle I(f)=\int_{0}^{1}f(x)\,dx, onde \mathcal{I}=\{f:[0,1]\to\mathbb{R}\mid f\\ \text{é integrável em }[0,1]\}.éá
Injetiva: não.
Sobrejetiva: sim.
Bijetiva: não.

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