Para cada um dos itens abaixo, defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva uma função que a cada:
função integrável
associa o valor de sua integral.
função integrável
Passo 1
O enunciado pede que eu defina (indicando domínio e contradomínio) e determine se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva a função que associa a cada função integrável
o valor da sua integral sobre
.
Informações relevantes dadas:
Informações relevantes dadas:
- O objeto que mapeia são as funções integráveis em
. - A imagem de cada tal função é o número real igual à integral de
em .
Nesta etapa só identifiquei o que o problema pede e os dados; não comecei a resolver.
Passo 2
Definição da função (domínio, contradomínio e regra): vou escrever claramente o espaço de partida e a regra do mapeamento.
Defino
Defino
A função procurada é
Aqui
toma uma função integrável
e devolve um número real (o valor da integral). Isso responde à parte de “defina (indicando domínio e contradomínio)”.
Passo 3
Lembrete didático: o que significa injetiva, sobrejetiva e bijetiva?
- Injetiva (ou um-para-um):
é injetiva se sempre que então necessariamente (isto é, duas funções diferentes não podem ter a mesma imagem). - Sobrejetiva (ou onto):
é sobrejetiva se para todo existe tal que . - Bijetiva: é simultaneamente injetiva e sobrejetiva.
Passo 4
Mostrando que
não é injetiva (passo a passo e com exemplo explícito).
Para provar que não é injetiva basta encontrar duas funções diferentes tais que
. Vou dar dois exemplos simples e fáceis de calcular:
Para provar que não é injetiva basta encontrar duas funções diferentes
Exemplo 1 (função constante zero e seno):
- Tome
para todo . Claramente e
- Tome
para . A função é contínua, logo integrável, e
Calculo do integral:
então
Logo
, mas
(por exemplo
enquanto
). Assim
não é injetiva.
Comentário intuitivo: muitos diferentes sinais e flutuações na função podem “cancelar” na integral e dar o mesmo número; isso é muito comum.
Passo 5
Mostrando que
é sobrejetiva (construção explícita para qualquer real).
Queremos mostrar: dado um , existe
tal que
.
Queremos mostrar: dado um
Construção simples: escolha a função constante igual a
,
Essa função é contínua (portanto integrável) e sua integral é
Assim para qualquer
encontramos
com
. Portanto
é sobrejetiva.
Passo 6
Observação extra útil para a prova (intuitiva e prática):
é uma aplicação linear (um funcional linear) do espaço de funções integráveis para
, isto é, para
e escalares
vale
O kernel (núcleo) de
é o conjunto
, que é um subespaço não trivial (por exemplo contém
), o que explica porque
não é injetiva.
Passo 7
Conclusão final (resumo claro e direto do que foi pedido):
está bem definida de
em
; ela não é injetiva e é sobrejetiva, portanto não é bijetiva.
Resposta
Definição:
,
, onde
Injetiva: não.
Sobrejetiva: sim.
Bijetiva: não.
Injetiva: não.
Sobrejetiva: sim.
Bijetiva: não.