Dado um polinômio p(x) de grau menor ou igual a n defina uma função que associa a p seu valor nos pontos 1,2, \ldots, m. Determine condições em n e m para que esta função seja:
(a) injetiva;
(b) sobrejetiva;
(c) bijetiva.
Dica: Faça o caso n=1 (retas) e n=2 (parábolas). Monte sistema linear. Para o caso geral utilize matriz de Vandermonde.
Passo 1
Enunciado resumido e dados: seja o espaço de polinômios de grau menor ou igual a n, denotado por P_n. Definimos a aplicação de avaliação
Perguntas pedidas:
(a) Para quais valores de n e m a aplicação E é injetiva?
(b) Para quais valores de n e m a aplicação E é sobrejetiva?
(c) Para quais valores de n e m a aplicação E é bijetiva?
Informações relevantes dadas: os pontos onde avaliamos são os inteiros 1,2,\dots,m (todos distintos). Podemos trabalhar sobre \mathbb{R} (as ideias valem para qualquer corpo infinito). No passo seguinte começamos a resolver.
Passo 2
Primeiro conceitos importantes (aula rápida e necessária):
O espaço P_n é o espaço vetorial formado por todos os polinômios com coeficientes em \mathbb{R} e grau \le n. Uma base natural é \{1,x,x^2,\dots,x^n\} e a dimensão de P_n é n+1.
A aplicação E é linear: para p,q\in P_n e \alpha\in\mathbb{R},
Para uma aplicação linear, injetividade equivale a ter núcleo trivial: E é injetiva \iff\ker E=\{0\}. O núcleo é o conjunto de polinômios p\in P_n tais que p(k)=0 para todo k=1,\dots,m.
Explicação sobre raízes de polinômios (fato chave): um polinômio não-nulo de grau \le n pode ter no máximo n raízes distintas. Isso decorre do teorema fundamental da álgebra/raízes: se p tem r raízes distintas então x-a divide p para cada raiz a, e multiplicidade total de raízes não excede o grau.
Passo 3
Usando o fato das raízes para decidir injetividade:
Se existir p\in P_n, p\neq 0, tal que p(k)=0 para todos k=1,\dots,m, então p teria pelo menos m raízes distintas. Mas um polinômio não-nulo de grau \le n admite no máximo n raízes. Logo, se m\ge n+1 então não pode existir tal p\neq0; isto é, \ker E=\{0\} e E é injetiva.
Por outro lado, se m\le n então é possível construir um polinômio não-nulo de grau \le n que anula em 1,2,\dots,m. Por exemplo, o polinômio
q(x)=(x-1)(x-2)\cdots(x-m)
tem grau m\le n e zera nesses m pontos; assim q\in\ker E e q\neq0, portanto E não é injetiva quando m\le n.
Conclusão para injetividade: E é injetiva exatamente quando
m\ge n+1.
Observação técnica: o caso limite m=n+1 já garante que qualquer polinômio não-nulo de grau \le n não pode ter n+1 raízes distintas, então injetividade vale também para m=n+1.
Passo 4
Agora estudamos sobrejetividade. Lembrete básico sobre dimensão e imagens:
Para uma transformação linear T:V\to W entre espaços de dimensão finita vale \dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T (teorema da dimensão).
Aqui \dim P_n=n+1 e \dim\mathbb{R}^m=m. Para E ser sobrejetiva precisamos que \dim \operatorname{Im}E=m (imagem ocupe todo \mathbb{R}^m). Pela fórmula da dimensão isso obriga m\le n+1, pois \dim\operatorname{Im}E\le\dim P_n=n+1.
Existe também um argumento construtivo (interpolação) mostrando que se m\le n+1 então E é realmente sobrejetiva:
Dados quaisquer valores y_1,\dots,y_m\in\mathbb{R}, o polinômio de Lagrange fornece um polinômio p de grau \le m-1 tal que p(k)=y_k para k=1,\dots,m. A fórmula de Lagrange é
Cada \ell_j tem grau m-1. Se m-1\le n (equivalente a m\le n+1) então p\in P_n. Logo, para qualquer vetor (y_1,\dots,y_m) existe p\in P_n com E(p)=(y_1,\dots,y_m): isso é exatamente sobrejetividade.
Se m>n+1 a dimensão da imagem é \le n+1 < m, então não há como ser sobrejetiva.
Conclusão para sobrejetividade: E é sobrejetiva exatamente quando
m\le n+1.
Passo 5
Combinação das duas condições para bijetividade:
Bijetividade exige simultaneamente injetividade e sobrejetividade. Pelos resultados anteriores:
injetiva \iff m\ge n+1 e sobrejetiva \iff m\le n+1. Ambas valem simultaneamente somente quando
m=n+1.
Para m=n+1 podemos ainda verificar que a matriz de E na base \{1,x,\dots,x^n\} e na base canônica de \mathbb{R}^{n+1} é a matriz de Vandermonde
A fórmula bem conhecida para o determinante dessa matriz (determinante de Vandermonde) é
\det V=\prod_{1\le i<j\le n+1}(j-i),
que é diferente de zero porque todos os termos (j-i) são positivos (os pontos 1,\dots,n+1 são distintos). Assim V é invertível, o que confirma que E é bijetiva quando m=n+1.
Passo 6
Exemplos concretos (pedidos na dica: n=1 e n=2) para fixar a intuição:
Caso n=1 (retas): \dim P_1=2.
Se m=1: E não é injetiva (há retas diferentes que coincidem em x=1) mas é sobrejetiva? Para m=1 queremos preencher um único valor y_1; existe uma reta com p(1)=y_1 (infinitas), então E é sobrejetiva. Isso coincide com regra geral: m\le n+1\Rightarrow 1\le 2.
Se m=2: m=n+1 então E é bijetiva: para quaisquer y_1,y_2 há uma única reta passando por (1,y_1) e (2,y_2).
Se m\ge3: E é injetiva (porque m\ge n+1=2 já dá injetividade só quando m\ge2; porém para m>2 ainda é injetiva) mas não é sobrejetiva quando m>2.
Atenção: para n=1 a condição usada antes dá injetiva para m\ge2, sobrejetiva para m\le2; logo bijetiva só em m=2.
Caso n=2 (parábolas): \dim P_2=3.
\;m=1,2,3: como m\le3 a aplicação é sobrejetiva; em particular para m=3 é bijetiva.
\;m\ge3: para m\ge3 (mais precisamente m\ge n+1=3) a aplicação é injetiva; então para m>3 injetiva mas não sobrejetiva.
Esses exemplos coincidem com as condições gerais.
Passo 7
Resumo da teoria usada e como aplicar na prova:
Use a contagem de raízes para decidir injetividade: se você avalia um polinômio de grau \le n em m pontos distintos, e m\ge n+1, então somente o polinômio zero pode anular em todos esses pontos.
Use interpolação (polinômio de Lagrange) ou argumento de dimensão para decidir sobrejetividade: se m\le n+1 dá para interpolar dados arbitrários em m pontos com polinômio de grau \le n.
Para o caso crítico m=n+1 a matriz de avaliação é uma matriz de Vandermonde quadrada com determinante não-nulo, o que comprova bijetividade.
Resposta
(a) E é injetiva se, e somente se, m\ge n+1.\n(b) E é sobrejetiva se, e somente se, m\le n+1.\n(c) E é bijetiva se, e somente se, m=n+1.