Para cada uma das seguintes funções, faça um mapa de contorno mostrando quatro curvas de nível.
Passo 1
O enunciado pede um mapa de contorno (quatro curvas de nível) para a função
Informações dadas e observações imediatas do enunciado:
- A expressão dentro da raiz exige
; portanto a função está definida apenas no disco . - A raiz quadrada
é sempre , e como há o sinal negativo na frente, temos para todos os pontos do domínio. - Os valores extremos: em
a função vale (valor mínimo) e na fronteira temos (valor máximo).
Passo 2
O que é uma curva de nível? Para um valor fixo
(um número real), a curva de nível de
correspondente a
é o conjunto
No mapa de contorno escolhemos alguns valores
(os níveis) e desenhamos esses conjuntos no plano
. Importante: só podemos escolher
que realmente ocorram como valores de
. Pelo raciocínio do passo 1, os possíveis
satisfazem
Passo 3
Agora escrevemos a equação da curva de nível resolvendo
. Começamos com
Como a raiz é não-negativa, o lado esquerdo é
, portanto é necessário
. Isolando a raiz (multiplicando por
) e elevando ao quadrado, obtemos
Rearranjando,
Portanto, cada curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
desde que
(o que é equivalente a
) e também
, condições já observadas.
Passo 4
Interpretação geométrica e comportamento: as curvas de nível são círculos concêntricos centrados em
. Quando
diminui (isto é, torna-se mais negativo),
aumenta e
diminui, portanto o raio
diminui. Em particular:
- No nível máximo
o círculo tem raio (a fronteira do domínio). - No nível mínimo
o círculo degenera para o ponto (raio zero).
Passo 5
Escolho quatro níveis simples e representativos no intervalo permitido
. Cálculo das quatro curvas de nível e seus raios:
- Nível
: - Nível
: - Nível
: - Nível
:
Passo 6
Como desenhar o mapa de contorno (passo a passo prático para a prova):
- Desenhe um sistema de eixos centrado na origem e marque uma escala (por exemplo, cada unidade = 1).
- Trace quatro círculos concêntricos com centros em
e raios:
, , , . - Rotule cada círculo com o valor do nível
correspondente: no círculo maior, no seguinte, no seguinte, e no ponto central. - Observe que entre dois círculos consecutivos a função assume valores entre os dois níveis escolhidos; quanto mais perto da origem, mais negativo é
.
Dica: se precisar marcar coordenadas numéricas aproximadas para desenhar, usee .