Para cada uma das seguintes funções, faça um mapa de contorno mostrando quatro curvas de nível.
f(x, y)=-\sqrt{8-x^{2}-y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede um mapa de contorno (quatro curvas de nível) para a função
f(x,y) = -\sqrt{8 - x^{2} - y^{2}}.
Informações dadas e observações imediatas do enunciado:
  • A expressão dentro da raiz exige 8 - x^{2} - y^{2} \ge 0; portanto a função está definida apenas no disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 8\}.
  • A raiz quadrada \sqrt{8-x^{2}-y^{2}} é sempre \ge 0, e como há o sinal negativo na frente, temos f(x,y)\le 0 para todos os pontos do domínio.
  • Os valores extremos: em (0,0) a função vale f(0,0)=-\sqrt{8}=-2\sqrt{2} (valor mínimo) e na fronteira x^{2}+y^{2}=8 temos f=0 (valor máximo).

Passo 2

O que é uma curva de nível? Para um valor fixo c (um número real), a curva de nível de f correspondente a c é o conjunto
\{(x,y)\mid f(x,y)=c\}.
No mapa de contorno escolhemos alguns valores c (os níveis) e desenhamos esses conjuntos no plano (x,y). Importante: só podemos escolher c que realmente ocorram como valores de f. Pelo raciocínio do passo 1, os possíveis c satisfazem
-2\sqrt{2}\le c\le 0.

Passo 3

Agora escrevemos a equação da curva de nível resolvendo f(x,y)=c. Começamos com
-\sqrt{8 - x^{2} - y^{2}} = c.
Como a raiz é não-negativa, o lado esquerdo é \le 0, portanto é necessário c\le 0. Isolando a raiz (multiplicando por -1) e elevando ao quadrado, obtemos
\sqrt{8 - x^{2} - y^{2}} = -c \quad(\text{com } -c\ge 0),
8 - x^{2} - y^{2} = c^{2}.
Rearranjando,
x^{2}+y^{2} = 8 - c^{2}.
Portanto, cada curva de nível é um círculo centrado na origem com raio
\rho\text{(c)} = \sqrt{8 - c^{2}},
desde que 8 - c^{2}\ge 0 (o que é equivalente a |c|\le \sqrt{8}) e também c\le0, condições já observadas.

Passo 4

Interpretação geométrica e comportamento: as curvas de nível são círculos concêntricos centrados em (0,0). Quando c diminui (isto é, torna-se mais negativo), c^{2} aumenta e 8-c^{2} diminui, portanto o raio \rho\text{(c)} diminui. Em particular:
  • No nível máximo c=0 o círculo tem raio \sqrt{8}=2\sqrt{2} (a fronteira do domínio).
  • No nível mínimo c=-2\sqrt{2} o círculo degenera para o ponto (0,0) (raio zero).

Passo 5

Escolho quatro níveis simples e representativos no intervalo permitido [-2\sqrt{2},0]. Cálculo das quatro curvas de nível e seus raios:
  • Nível c=0: x^{2}+y^{2}=8-0^{2}=8,\quad \text{raio } \rho=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
  • Nível c=-1: x^{2}+y^{2}=8-(-1)^{2}=7,\quad \text{raio } \rho=\sqrt{7}.
  • Nível c=-2: x^{2}+y^{2}=8-(-2)^{2}=4,\quad \text{raio } \rho=2.
  • Nível c=-2\sqrt{2}: x^{2}+y^{2}=8-( -2\sqrt{2})^{2}=8-8=0,\quad \text{raio } \rho=0 \\ (\text{ponto na origem}).

Passo 6

Como desenhar o mapa de contorno (passo a passo prático para a prova):
  1. Desenhe um sistema de eixos centrado na origem e marque uma escala (por exemplo, cada unidade = 1).
  2. Trace quatro círculos concêntricos com centros em (0,0) e raios:
    \rho=2\sqrt{2}, \rho=\sqrt{7}, \rho=2, \rho=0.
  3. Rotule cada círculo com o valor do nível c correspondente: c=0 no círculo maior, c=-1 no seguinte, c=-2 no seguinte, e c=-2\sqrt{2} no ponto central.
  4. Observe que entre dois círculos consecutivos a função assume valores entre os dois níveis escolhidos; quanto mais perto da origem, mais negativo é f.
    Dica: se precisar marcar coordenadas numéricas aproximadas para desenhar, use \sqrt{7}\approx 2,646 e 2\sqrt{2}\approx 2,828.

Resposta

c=0:\\ x^{2}+y^{2}=8
c=-1:\\ x^{2}+y^{2}=7
c=-2:\\ x^{2}+y^{2}=4
c=-2\sqrt{2}:\\ x^{2}+y^{2}=0

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