Teste a série para convergência ou divergência:
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente: \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{3^{2 k-1}}{k^{2}+1}
e classificá‑la como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas importantes: o termo geral é (-1)^{k+1}\dfrac{3^{2k-1}}{k^{2}+1}. A parte com sinal alternado é (-1)^{k+1} e a parte de módulo é \dfrac{3^{2k-1}}{k^{2}+1}.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão do módulo do termo geral para ver o comportamento em k. Note que
Vamos analisar o comportamento assintótico de \dfrac{9^{k}}{3\,(k^{2}+1)} quando k\to\infty. Intuitivamente, 9^{k} cresce exponencialmente enquanto k^{2}+1 cresce polinomialmente, então o numerador domina e a fração tende a +\infty. Para dar uma demonstração mais precisa, calcule a razão entre termos consecutivos (isso mostra crescimento geométrico):
Como essa razão tende a 9>1, os termos em módulo crescem geometricamente (em média) e, em particular, não tendem a zero.
Passo 4
Recordando um fato básico e muito útil: uma série \sum_{k} b_k só pode convergir se o termo geral b_k tende a 0 quando k\to\infty. Esse é o teste da condição necessária para convergência (teste do termo geral). Se \lim_{k\to\infty} b_k \neq 0 (ou não existe), a série diverge.
Passo 5
No nosso caso o termo geral da série é
b_k = (-1)^{k+1}\frac{3^{2k-1}}{k^{2}+1}.
Mostramos que o módulo |b_k|=\dfrac{9^{k}}{3(k^{2}+1)} não tende a zero (na verdade tende a +\infty). Portanto \lim_{k\to\infty} b_k não é zero. Pelo teste do termo geral, a série não pode convergir.
Passo 6
Conclusão sobre convergência absoluta e condicional: a série dos módulos
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^{2k-1}}{k^{2}+1}
também tem termo geral que não tende a zero, logo essa série de termos positivos diverge. Assim não há convergência absoluta. Como a própria série original não converge (já que o termo não tende a zero), ela também não é condicionalmente convergente. A única classificação correta é: divergente.