Teste a série para convergência ou divergência:
Classifique a série como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1} \frac{3^{2 k-1}}{k^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para testar a série
\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\frac{3^{2k-1}}{k^{2}+1}
e classificá‑la como absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações dadas importantes: o termo geral é (-1)^{k+1}\dfrac{3^{2k-1}}{k^{2}+1}. A parte com sinal alternado é (-1)^{k+1} e a parte de módulo é \dfrac{3^{2k-1}}{k^{2}+1}.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão do módulo do termo geral para ver o comportamento em k. Note que
3^{2k-1} = \frac{3^{2k}}{3} = \frac{(3^2)^k}{3} = \frac{9^k}{3}.
Portanto o módulo do termo geral pode ser escrito como
\left|\frac{(-1)^{k+1}3^{2k-1}}{k^{2}+1}\right| = \frac{3^{2k-1}}{k^{2}+1} = \frac{9^{k}}{3\,(k^{2}+1)}.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento assintótico de \dfrac{9^{k}}{3\,(k^{2}+1)} quando k\to\infty. Intuitivamente, 9^{k} cresce exponencialmente enquanto k^{2}+1 cresce polinomialmente, então o numerador domina e a fração tende a +\infty. Para dar uma demonstração mais precisa, calcule a razão entre termos consecutivos (isso mostra crescimento geométrico):
\frac{\dfrac{9^{k+1}}{3((k+1)^2+1)}}{\dfrac{9^{k}}{3(k^{2}+1)}} = 9\cdot\frac{k^{2}+1}{(k+1)^2+1}.
Agora calcule o limite dessa razão quando k\to\infty:
\lim_{k\to\infty}9\cdot\frac{k^{2}+1}{(k+1)^2+1} = 9\cdot\frac{1}{1}=9.
Como essa razão tende a 9>1, os termos em módulo crescem geometricamente (em média) e, em particular, não tendem a zero.

Passo 4

Recordando um fato básico e muito útil: uma série \sum_{k} b_k só pode convergir se o termo geral b_k tende a 0 quando k\to\infty. Esse é o teste da condição necessária para convergência (teste do termo geral). Se \lim_{k\to\infty} b_k \neq 0 (ou não existe), a série diverge.

Passo 5

No nosso caso o termo geral da série é
b_k = (-1)^{k+1}\frac{3^{2k-1}}{k^{2}+1}.
Mostramos que o módulo |b_k|=\dfrac{9^{k}}{3(k^{2}+1)} não tende a zero (na verdade tende a +\infty). Portanto \lim_{k\to\infty} b_k não é zero. Pelo teste do termo geral, a série não pode convergir.

Passo 6

Conclusão sobre convergência absoluta e condicional: a série dos módulos
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{3^{2k-1}}{k^{2}+1}
também tem termo geral que não tende a zero, logo essa série de termos positivos diverge. Assim não há convergência absoluta. Como a própria série original não converge (já que o termo não tende a zero), ela também não é condicionalmente convergente. A única classificação correta é: divergente.

Resposta

Divergente

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