Em cada um dos itens abaixo, determine um equação da superfície de revolução, gerada pela rotação da curva C em torno do eixo especificado.Esboce a superfície
C:lx+(y+2)^2-5=0 z-2=0 ; eixo s:ly+2=0 z-2=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da superfície obtida ao girar a curva
C: x + (y+2)^2 - 5 = 0, z - 2 = 0
em torno da reta
s: y + 2 = 0, z - 2 = 0
O conteúdo é superfície de revolução em R^3 e vamos usar a ideia de que, ao girar em torno de um eixo paralelo ao eixo x, a coordenada x permanece fixa e a “distância radial” ao eixo se conserva.

Passo 2

Parametrizamos C definindo t = y+2. Assim
y = t - 2, x = 5 - t^2, z = 2
O eixo s é a reta de equações y=-2, z=2, ou seja: pontos (u,-2,2) com uinR. Ao girar, a coordenada x não muda, e o raio de rotação r é a distância do ponto (x,y,z) ao eixo s:
r = raiz(y+2)^2 + (z-2)^2

Passo 3

Na curva original temos r = |t| e x = 5 - t^2. Eliminando t via t^2 = (y+2)^2+(z-2)^2, obtemos
x = 5 - l((y+2)^2 + (z-2)^2r)
Rearranjando tudo para um só lado dá a equação buscada.

Passo 4

O resultado é um paraboloide circular com vértice em (5,-2,2) abrindo no sentido decrescente de x e eixo de revolução a reta s.

Resposta

x + (y+2)^2 + (z-2)^2 - 5 = 0

Exercícios relacionados