2.1.1 Produto escalar e Ângulo entre vetores
- Sejam
e
. Determine:
(a) O produto escalar e o ângulo entre
e
.
(b) A projeção
.
- Considere a equação
. Mostre que se
e
são L.I, então
e
.
- Suponha que
e
sejam L.I. Como devem ser os escalares
de modo que o vetor
seja paralelo ao vetor
, mas de sentido contrário.
- Calcule o ângulo entre
e
, sabendo que
e que o ângulo entre
e
é
.
- Sejam
e
. Verifique que:
(a) O produto escalar e o ângulo entre
(b) A projeção
Passo 1
O enunciado reúne cinco itens sobre produto escalar, projeção, independência linear e ângulo entre vetores em
ou
.
Precisamos usar:
– Definição de produto escalar e norma: e
.
– Relação .
– Fórmula da projeção de sobre
:
.
– Fato de que vetores L.I. dão representação única.
– Critério de paralelismo e sentido (coeficiente escalar negativo).
– Álgebra de somas, diferenças e norma para achar ângulo de e
.
– Identidade envolvendo normas e produto escalar.
Precisamos usar:
– Definição de produto escalar e norma:
– Relação
– Fórmula da projeção de
– Fato de que vetores L.I. dão representação única.
– Critério de paralelismo e sentido (coeficiente escalar negativo).
– Álgebra de somas, diferenças e norma para achar ângulo de
– Identidade envolvendo normas e produto escalar.
Passo 2
Item 1(a): calculemos
Logo o ângulo
satisfaz
daí
Passo 3
Item 1(b): a projeção de
sobre
é
Passo 4
Item 2: partindo de
subtraímos membro a membro para obter
Como
são L.I., isso força
ou seja
.
Passo 5
Item 3: queremos
paralelo a
e de sentido contrário.
Isso equivale a
Isso equivale a
Então
Pela L.I. de
segue
e
. Como
, temos
Passo 6
Item 4: calculemos o ângulo entre
e
.
O produto escalar é
O produto escalar é
Agora
Logo
e
Passo 7
Item 5: verifiquemos
Expandindo o último termo:
Subtraindo, resta
Resposta
1(a)
,
.
1(b) .
2. .
3. e
.
4. .
5. A identidade foi verificada:
1(b)
2.
3.
4.
5. A identidade foi verificada: