2.1.1 Produto escalar e Ângulo entre vetores

  1. Sejam u=(-1,2) e v=(5,2). Determine:
    (a) O produto escalar e o ângulo entre u e v.
    (b) A projeção Pv^u.
  2. Considere a equação x1 a+y1 b+z1 c=x2 a+y2 b+z2 c. Mostre que se a, b e c são L.I, então x1=x2, y1=y2 e z1=z2.
  3. Suponha que u e v sejam L.I. Como devem ser os escalares a, b in R de modo que o vetor w=a u+b v seja paralelo ao vetor u, mas de sentido contrário.
  4. Calcule o ângulo entre u+v e u-v, sabendo que |u|=raiz3,|v|=1 e que o ângulo entre u e v é 30^circ.
  5. Sejam u=(x1, y1, z1) e v=(x2, y2, z2). Verifique que:
2 u cdot v=|u|^2+|v|^2-|u-v|^2

Passo 1

O enunciado reúne cinco itens sobre produto escalar, projeção, independência linear e ângulo entre vetores em R^2 ou R^3.
Precisamos usar:
– Definição de produto escalar e norma: vec ucdotvec v e |vec u|=raizvec ucdotvec u.
– Relação costheta=(vec ucdotvec v)/(|vec u||vec v|).
– Fórmula da projeção de vec u sobre vec v: Pvec v^vec u=(vec ucdotvec v/|vec v|^2),vec v.
– Fato de que vetores L.I. dão representação única.
– Critério de paralelismo e sentido (coeficiente escalar negativo).
– Álgebra de somas, diferenças e norma para achar ângulo de vec u+vec v e vec u-vec v.
– Identidade envolvendo normas e produto escalar.

Passo 2

Item 1(a): calculemos
vec ucdotvec v = (-1)cdot5 + 2cdot2 = -5 + 4 = -1,
|vec u| = raiz(-1)^2 + 2^2 = raiz5, |vec v| = raiz5^2 + 2^2 = raiz29
Logo o ângulo theta satisfaz
costheta = vec ucdotvec v|vec u||vec v| = -1raiz5,raiz29 = -1raiz145,
daí
theta = arccos!l(-1/raiz145r)

Passo 3

Item 1(b): a projeção de vec u sobre vec v é
Pvec v^vec u = vec ucdotvec v|vec v|^2,vec v = -129,(5,2) = l(-529,,-229r)

Passo 4

Item 2: partindo de
x1vec a + y1vec b + z1vec c = x2vec a + y2vec b + z2vec c,
subtraímos membro a membro para obter
(x1-x2)vec a + (y1-y2)vec b + (z1-z2)vec c = vec0
Como vec a,vec b,vec c são L.I., isso força
x1-x2=0, y1-y2=0, z1-z2=0,
ou seja x1=x2,;y1=y2,;z1=z2.

Passo 5

Item 3: queremos
vec w = avec u + bvec v paralelo a vec u e de sentido contrário.
Isso equivale a
vec w = -lambda,vec u(lambda>0)
Então
avec u + bvec v = -lambda,vec u ;Longrightarrow; (a+lambda)vec u + bvec v = vec0
Pela L.I. de vec u,vec v segue b=0 e a+lambda=0. Como lambda>0, temos
b=0, a<0

Passo 6

Item 4: calculemos o ângulo entre vec u + vec v e vec u - vec v.
O produto escalar é
(vec u+vec v)cdot(vec u-vec v) = |vec u|^2 - |vec v|^2 = (raiz3)^2 - (1)^2 = 3 - 1 = 2
Agora
|vec u+vec v|^2 = |vec u|^2 + |vec v|^2 + 2,vec ucdotvec v = 3 + 1 + 2l(raiz3cdot1cdotcos30^circr) = 4 + raiz3,
|vec u-vec v|^2 = 3+1 -2l(raiz3cdot1cdotcos30^circr) = 4 - raiz3
Logo
|vec u+vec v|,|vec u-vec v| = raiz(4+raiz3)(4-raiz3) = raiz16-3 = raiz13,
e
cosphi = 2raiz13, phi = arccos!l(2/raiz13r)

Passo 7

Item 5: verifiquemos
|vec u|^2 + |vec v|^2 - |vec u - vec v|^2 = (vec ucdotvec u) + (vec vcdotvec v) - l[(vec u-vec v)cdot(vec u-vec v)r]
Expandindo o último termo:
(vec u-vec v)cdot(vec u-vec v) = vec ucdotvec u -2,vec ucdotvec v + vec vcdotvec v
Subtraindo, resta
vec ucdotvec u + vec vcdotvec v - l(vec ucdotvec u -2,vec ucdotvec v + vec vcdotvec vr) = 2,vec ucdotvec v

Resposta

1(a) vec ucdotvec v=-1, theta=arccos(-1/raiz145).
1(b) Pvec v^vec u=(-5/29,,-2/29).
2. x1=x2,;y1=y2,;z1=z2.
3. b=0 e a<0.
4. phi=arccos(2/raiz13).
5. A identidade foi verificada:
2,vec ucdotvec v = |vec u|^2+|vec v|^2-|vec u-vec v|^2

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