Determine se
O conjunto
(cc 0 & a12 a21 & a22 ) rvert, ai j in R
é um subespaço vetorial do espaço das matrizes 2 times 2 sobre R. Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial . Para isso vamos usar o critério padrão: verificar se (i) a matriz zero está em , (ii) é fechado sob soma e (iii) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se a matriz zero
02 = 0 & 00 & 0
pertence a S. Basta escolher a12=0, a21=0, a22=0. Logo 02in S.

Passo 3

Tomemos duas matrizes quaisquer em :
A soma é
cujo elemento continua sendo zero e os demais são reais. Isso mostra .

Passo 4

Seja e
Então
cujo canto superior esquerdo continua nulo. Logo .

Passo 5

Como S contém a matriz zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalares, concluímos que S é de fato um subespaço vetorial de M2times2(R).

Resposta

O conjunto dado é um subespaço vetorial de M2times2(R).

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