Em cada um dos itens abaixo determine a função inversa. Esboce o gráfico da função e da sua inversa.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as funções inversas de várias funções dadas e esboçar os gráficos delas e de suas inversas. O conteúdo que vamos utilizar é o de funções inversas, que nos permite encontrar uma função que “desfaz” o que a função original faz. Para isso, vamos precisar entender como isolar a variável
nas equações dadas.
Passo 2
Item a)
Primeiro, vamos encontrar a função inversa dessa função linear.
- Substituir
por e por : - Isolar
:
Portanto, a função inversa é:
Esboço do Gráfico:
A função original é uma linha reta com inclinação 3 e interceptação em 4. Sua inversa
também é uma linha reta com inclinação
e interceptação em
. Os gráficos são simétricos em relação à linha
.
A função original
Passo 3
Item b)
Vamos determinar a função inversa dessa função racional.
- Substituir
por e por : - Isolar
:
Portanto, a função inversa é:
Esboço do Gráfico:
A função original é uma hipérbole deslocada horizontalmente para
. Sua inversa
também é uma hipérbole deslocada, refletida em relação à linha
.
A função original
Passo 4
Item c)
Vamos encontrar a função inversa dessa função.
- Substituir
por e por : - Isolar
:
Portanto, a função inversa é:
Esboço do Gráfico:
A função original com domínio
é uma hipérbole no primeiro quadrante. Sua inversa é ela mesma, portanto os gráficos coincidem e são simétricos em relação à linha
.
A função original
Passo 5
Item d)
Vamos determinar a função inversa dessa função.
- Substituir
por e por : - Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
- Isolar
:
Portanto, a função inversa é:
Esboço do Gráfico:
A função original é a metade superior da parábola
, começando em
. Sua inversa
é uma parábola com vértice em
e aberta para cima. Os gráficos são simétricos em relação à linha
.
A função original
Passo 6
Item e)
Vamos encontrar a função inversa dessa função quadrática restrita.
- Substituir
por e por : - Isolar
: - Tirar a raiz quadrada e considerar
devido à restrição :
Portanto, a função inversa é:
Esboço do Gráfico:
A função original com
é a metade direita da parábola
. Sua inversa
é uma função raiz que inicia em
. Os gráficos são simétricos em relação à linha
.
A função original
Resposta
As funções inversas determinam-se da seguinte forma:
a)
b)
c)
d)
e)
Os gráficos de cada função e sua inversa são simétricos em relação à linha
, de acordo com as propriedades das funções inversas.