Em cada um dos itens abaixo determine a função inversa. Esboce o gráfico da função e da sua inversa.
a) y = 3x + 4
b) y = 1/(x-a)
c) y = 1/x, x > 0
d) y = raiz(x - 1), x ≥ 1
e) y = x² - 4, x ≥ 0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as funções inversas de várias funções dadas e esboçar os gráficos delas e de suas inversas. O conteúdo que vamos utilizar é o de funções inversas, que nos permite encontrar uma função que “desfaz” o que a função original faz. Para isso, vamos precisar entender como isolar a variável nas equações dadas.

Passo 2

Item a)

Primeiro, vamos encontrar a função inversa dessa função linear.
  1. Substituir por e por :
  2. Isolar :
Portanto, a função inversa é:
Esboço do Gráfico:
A função original é uma linha reta com inclinação 3 e interceptação em 4. Sua inversa também é uma linha reta com inclinação e interceptação em . Os gráficos são simétricos em relação à linha .

Passo 3

Item b)

Vamos determinar a função inversa dessa função racional.
  1. Substituir por e por :
  2. Isolar :
Portanto, a função inversa é:
Esboço do Gráfico:
A função original é uma hipérbole deslocada horizontalmente para . Sua inversa também é uma hipérbole deslocada, refletida em relação à linha .

Passo 4

Item c)

Vamos encontrar a função inversa dessa função.
  1. Substituir por e por :
  2. Isolar :
Portanto, a função inversa é:
Esboço do Gráfico:
A função original com domínio é uma hipérbole no primeiro quadrante. Sua inversa é ela mesma, portanto os gráficos coincidem e são simétricos em relação à linha .

Passo 5

Item d)

Vamos determinar a função inversa dessa função.
  1. Substituir por e por :
  2. Elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
  3. Isolar :
Portanto, a função inversa é:
Esboço do Gráfico:
A função original é a metade superior da parábola , começando em . Sua inversa é uma parábola com vértice em e aberta para cima. Os gráficos são simétricos em relação à linha .

Passo 6

Item e)

Vamos encontrar a função inversa dessa função quadrática restrita.
  1. Substituir por e por :
  2. Isolar :
  3. Tirar a raiz quadrada e considerar devido à restrição :
Portanto, a função inversa é:
Esboço do Gráfico:
A função original com é a metade direita da parábola . Sua inversa é uma função raiz que inicia em . Os gráficos são simétricos em relação à linha .

Resposta

As funções inversas determinam-se da seguinte forma:
a)
b)
c)
d)
e)
Os gráficos de cada função e sua inversa são simétricos em relação à linha , de acordo com as propriedades das funções inversas.

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