1. Em cada um dos itens abaixo, determine a matriz N, linha reduzida à forma escada (LRFE), linha equivalente a B, e uma matriz invertível M, de ordem 3 , tal que N=M B.
    a) B=(rrrr1 & 1 & 1 & 1 2 & 1 & 1 & -3 1 & 2 & -1 & 0).
    b) B=(ccc2 & 2-i & 0 1+i & 3+i2 & -5-i).
  2. Verifique se cada matriz a seguir é inversível e, em caso afirmativo, determine a sua inversa, usando escalonamento.
    a) (ll1 & 2 2 & 2).
    b) (lll1 & 2 & 2 0 & 1 & 2 1 & 3 & 4).
    c) (rrrr0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & -1 0 & 2 & 0 & 3).
  3. Em cada item abaixo, determine os valores de a para que as matriz seja inversível.
    a) (lll1 & 1 & 1 2 & 1 & 2 1 & 2 & a).
    b) (ccca+3 & 7 & 6 -1 & a-5 & -6 1 & 1 & a+2).
  4. Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço vetorial, com as operações dadas.
    a) V1=R^2, com as operações +: R^2 times R^2 R^2 e cdot: R times R^2 R^2 dadas por
(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x22, y1+y22) e a cdot(x, y)=(a x, a y)
b) V2=M2(R), com as operações
+: M2(R) times M2(R) M2(R) e cdot: R times M2(R) M2(R)
definidas por
(cc x1 & y1 z1 & w1 )+(cc x2 & y2 z2 & w2 )=(cc x1+x2 & y1+y2 z1+z2 & w1+w2 ) e a cdot(cc x & y z & w )=(cc a x & y z & a w )
  1. Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
    I. V=R^3
    a) W=(x, y, z) in R^3 ; y <= 0.
    b) W=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2+z^2 <= 1.
    c) W=(x, y, z) in R^3 ; z=0.
    d) W=Q^3 (Q é o conjunto dos racionais ).
    e) W=(x, y, z) in R^3 ; x y=1.
    f) f) W=(x, y, z) in R^3 ; y=x^2.
    II. V=Mn(R), n >= 2.
    a) W=A in V; A é simétrica .
    b) W=A in V; A é inversível .
    c) W=A in V; A é não inversível .
    d) W=A in V ; A^2=A.
    III. V é o espaço vetorial de todas as funções f: R R.
    a) W=f in V ; f(3)=0.
    b) W=f in V ; f(7)=f(1).
    IV. V=Mn(C), n >= 2, sobre o corpo C.
W=A in V ; A é matriz hermitiana, isto é, A=barA^T éé
V. V=Mn(C), n >= 2, sobre o corpo R.
W=A in V ; A é matriz hermitiana, isto é, A=barA^T éé
VI. V=C^2 sobre R.
W=(a+b i, c+d i) in C^2 ; a-2 c=0 e b+d=0

Passo 1

O enunciado pede, para cada matriz B de ordem 3times4 (item 10a) e de ordem 2times3 (item 10b), que a gente
  1. encontre uma matriz N em forma escada reduzida (LRFE) equivalente a B,
  2. mostre quais operações de linha levam de B a N, e
  3. construa a matriz inversível M (produto das matrizes elementares correspondentes) tal que
N ;=; M,B
O conteúdo principal aqui é eliminação de Gauss-Jordan e o uso das matrizes elementares para registrar cada operação de linha.

Passo 2

Eliminamos abaixo a primeira coluna de B e produzimos pivôs iguais a 1, anotando as operações.
(a)
B= 1 & 1 & 1 & 1 2 & 1 & 1 & -3 1 & 2 & -1 & 0
  1. R2 ← R2 − 2 R1
  2. R3 ← R3 − 1 R1
    1 & 1 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & -5 0 & 1 & -2 & -1
  3. R2 ← (−1)·R2 ⇒ pivô em (2,2) = 1
  4. R3 ← R3 − R2
    1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 5 0 & 0 & -3 & -6
  5. R3 ← (−\tfrac13)·R3 ⇒ pivô em (3,3) = 1
  6. Eliminar acima do pivô-3:
    R2 ← R2 − R3, R1 ← R1 − R3
  7. Eliminar acima do pivô-2:
    R1 ← R1 − R2
O resultado final é
N = 1 & 0 & 0 & -4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2

Passo 3

As operações de linha acima correspondem às matrizes elementares E1,dots,E8. O produto
M ;=; E8,E7,cdots E1
é invertível e satisfaz N=M,B. Fazendo o produto explicitamente (ou aplicando cada etapa a I3), obtemos
M ;=; -1 & 1 & 0 1 & -tfrac23 & tfrac13 1 & -tfrac13 & -tfrac13 ,
e de fato verifica-se que M,B=N.

Passo 4

Agora o item (b):
B= 2 & 2 - i & 0 1 + i & tfrac3+i2 & -5 - i
  1. R1 ← \tfrac12 R1 ⇒ pivô 1 em (1,1)
  2. R2 ← R2 − \tfrac{1+i}{2},R1 ⇒ anula o elemento (2,1)
  3. R2 ← (−1/(5+i)) R2 ⇒ pivô 1 em (2,3)
  4. Eliminar acima do pivô-2: R1 ← R1 − 0·R2 (já está zero).
Assim chega-se a
N = 1 & 1 - tfraci2 & 0 0 & 0 & 1

Passo 5

As matrizes elementares são
E1=tfrac12&00&1, E2= 1 & 0[6pt] -tfrac1+i2 & 1 , E3= 1 & 0[6pt] 0 & -tfrac15+i
Logo
M ;=; E3,E2,E1 ;=; tfrac12 & 0[4pt] tfrac3+2,i52 & tfrac-5+i26 ,
e de novo confirma-se N=M,B.]

Resposta

(a)
N=1&0&0&-40&1&0&30&0&1&2, M=-1&1&01&-tfrac23&tfrac131&-tfrac13&-tfrac13
(b)
N=1&1-tfraci2&00&0&1, M=tfrac12&0[3pt]tfrac3+2,i52&tfrac-5+i26 ]

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