Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
V é o espaço vetorial de todas as funções f: R R.
a) W=f in V ; f(3)=0.
b) W=f in V ; f(7)=f(1).
IV. V=Mn(C), n >= 2, sobre o corpo C.
W=A in V ; A é matriz hermitiana, isto é, A=barA^Téé

Passo 1

Estamos em um espaço vetorial V sobre um corpo F (nos itens a) e b) F=R, no item IV F=C). Para mostrar que um subconjunto Wsubseteq V é subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero de V está em W.
  2. Se u,vin W, então u+vin W.
  3. Se cin F e uin W, então c,uin W.

Passo 2

(a) W=fin V;;f(3)=0.
  1. A função zero f0(x)=0 satisfaz f0(3)=0, logo f0in W.
  2. Se f,gin W, então f(3)=0 e g(3)=0. Assim
(f+g)(3)=f(3)+g(3)=0+0=0,
Logo f+gin W.
3. Para qualquer escalar cinR e fin W,
(c,f)(3)=ccdot f(3)=ccdot 0=0,
logo c,fin W.
Conclusão: W é subespaço de V.

Passo 3

(b) W=fin V;;f(7)=f(1).
  1. A função zero satisfaz 0=0, então está em W.
  2. Se f,gin W, temos f(7)=f(1) e g(7)=g(1). Então
(f+g)(7)=f(7)+g(7)=f(1)+g(1)=(f+g)(1),
logo f+gin W.
3. Para cinR e fin W,
(c,f)(7)=c,f(7)=c,f(1)=(c,f)(1),
logo c,fin W.
Conclusão: W é subespaço de V.

Passo 4

IV. V=Mn(C) e
W=Ain V;;A=A^T(matrizes hermitianas)
  1. A matriz zero é hermitiana, então 0in W.
  2. Se A,B são hermitianas, (A+B)^*=A^*+B^*=A+B, logo A+Bin W.
  3. Para um escalar cinC e matriz hermitiana A,
(cA)^*=c,A^*=c,A
Para ter cA=(cA)^* precisamos de c=c, isto é, c real. Como C contém escalares não reais, W não é fechado em relação à multiplicação por qualquer cinC.
Conclusão: W não é subespaço de V sobre C.

Resposta

a) sim
b) sim
IV) não

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