Verifique em cada item a seguir se é um subespaço vetorial de . é o espaço vetorial de todas as funções .
a) .
b) .
IV. , sobre o corpo .
Passo 1
Estamos em um espaço vetorial sobre um corpo (nos itens a) e b) , no item IV ). Para mostrar que um subconjunto é subespaço vetorial, precisamos verificar três propriedades:
O vetor zero de está em .
Se , então .
Se e , então .
Passo 2
(a) .
A função zero satisfaz , logo .
Se , então e . Assim
Logo .
3. Para qualquer escalar e ,
logo .
Conclusão: é subespaço de .
Passo 3
(b) .
A função zero satisfaz , então está em .
Se , temos e . Então
logo .
3. Para e ,
logo .
Conclusão: é subespaço de .
Passo 4
IV. e
A matriz zero é hermitiana, então 0in W.
Se A,B são hermitianas, (A+B)^*=A^*+B^*=A+B, logo A+Bin W.
Para um escalar cinC e matriz hermitiana A,
(cA)^*=c,A^*=c,A
Para ter cA=(cA)^* precisamos de c=c, isto é, c real. Como C contém escalares não reais, W não é fechado em relação à multiplicação por qualquer cinC.
Conclusão: W não é subespaço de V sobre C.