Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.
V=Mn(R), n >= 2.
a) W=A in V; A é simétrica }).

Passo 1

O enunciado define V = Mn(R), n>=2, e o subconjunto
W = Ain V mid A^top = A, ou seja, as matrizes simétricas. Para verificar que W é subespaço vetorial de V, usamos o teste de subespaços:
  1. Wneqemptyset.
  2. Fechamento sob adição: se A,Bin W então A+Bin W.
  3. Fechamento sob multiplicação escalar: se cinR e Ain W então cAin W.

Passo 2

Para ver que Wneqemptyset, basta notar que a matriz nula 0 satisfaz
0^top = 0
logo 0in W.

Passo 3

Sejam A,Bin W, isto é, A^top=A e B^top=B. Então
(A+B)^top = A^top + B^top = A + B,
o que mostra que A+B é simétrica e, portanto, A+Bin W.

Passo 4

Para qualquer escalar c e Ain W temos
(cA)^top = c,A^top = cA,
logo cA também é simétrica, ou seja, cAin W.

Resposta

Sim, W é subespaço vetorial de V.

Exercícios relacionados