Fixado
, considere os vetores
e
em
.
(a) Mostre que
e
formam uma base,
, de
e encontre a matriz de mudança desta base para a base canônica do
.
(b) Determine as coordenadas do vetor
com relação à base
.
Bom Estudo!
(a) Mostre que
(b) Determine as coordenadas do vetor
Passo 1
O enunciado nos dá, para um ângulo fixo
, os vetores
em
.
(a) Precisamos mostrar que é base e achar a matriz de mudança dessa base
para a base canônica.
(b) Depois, dado , determinar as coordenadas
tais que
(a) Precisamos mostrar que
(b) Depois, dado
O conteúdo utilizado será: teste de independência linear via determinante e solução de sistema linear para obter coordenadas.
Passo 2
Para mostrar que
e
formam base, calculamos o determinante da matriz cujas colunas são
e
:
O determinante é
Logo
é independente e forma uma base.
Além disso, essa matriz leva coordenadas em
para coordenadas na base canônica, pois suas colunas são exatamente os vetores
e
.
Além disso, essa matriz
Passo 3
Agora queremos
Escrevendo em forma de sistema:
Para resolver, multiplica-se a primeira equação por e soma-se:
ou seja,
De modo semelhante, multiplica-se a primeira equação por
e a segunda por
e soma-se:
logo
Resposta
(a) A base
é válida porque
. A matriz de mudança de
para a base canônica é
(b) As coordenadas de
em relação a
são