Fixado theta in R, considere os vetores u1=(cos theta, sen theta) e u2=(-sen theta, cos theta) em R^2.
(a) Mostre que u1 e u2 formam uma base, B, de R^2 e encontre a matriz de mudança desta base para a base canônica do R^2.
(b) Determine as coordenadas do vetor u=(x, y) com relação à base B.
Bom Estudo!

Passo 1

O enunciado nos dá, para um ângulo fixo theta, os vetores
u1 = (costheta,;sintheta), u2 = (-sintheta,;costheta)
em R^2.
(a) Precisamos mostrar que u1,u2 é base e achar a matriz de mudança dessa base B para a base canônica.
(b) Depois, dado u=(x,y), determinar as coordenadas (alpha,beta) tais que
(x,y) = alpha,u1 + beta,u2
O conteúdo utilizado será: teste de independência linear via determinante e solução de sistema linear para obter coordenadas.

Passo 2

Para mostrar que u1 e u2 formam base, calculamos o determinante da matriz cujas colunas são u1 e u2:
P = costheta & -sintheta sintheta & ;costheta
O determinante é
det P = costhetacdotcostheta - (-sintheta)cdotsintheta = cos^2theta + sin^2theta = 1 neq 0
Logo u1,u2 é independente e forma uma base.
Além disso, essa matriz P leva coordenadas em B para coordenadas na base canônica, pois suas colunas são exatamente os vetores u1 e u2.

Passo 3

Agora queremos
Escrevendo em forma de sistema:
Para resolver, multiplica-se a primeira equação por e soma-se:
ou seja,
De modo semelhante, multiplica-se a primeira equação por e a segunda por e soma-se:
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Resposta

(a) A base B=u1,u2 é válida porque det P=1. A matriz de mudança de B para a base canônica é
P = costheta & -sintheta sintheta & ;costheta
(b) As coordenadas de (x,y) em relação a B são
l(alpha,betar) = l(xcostheta + ysintheta,; -,xsintheta + ycosthetar)

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