Em cada um dos itens abaixo, determine ω_{0}, R e δ, de modo que a expressão dada esteja na forma u(t)=R \cos \left(ω_{0} t-δ\right).
u(t)=2 \cos (2 t)+4 \operatorname{sen}(2 t)

Passo 1

O enunciado dá a função
u(t)=2\cos(2t)+4\sin(2t)
e pede que a escrevamos na forma
u(t)=R\cos\bigl(\omega_{0}t-\delta\bigr).
Informações relevantes que já tenho:
  • Os coeficientes do cosseno e seno com a mesma frequência são A=2 e B=4.
  • A frequência angular que aparece nas duas parcelas é 2 (isto é, 2t em ambas).
    As perguntas concretas são:
  • determinar \omega_{0};
  • determinar R;
  • determinar \delta.

Passo 2

Vamos usar a identidade trigonométrica básica para um cosseno com deslocamento de fase:
\cos(\omega t-\delta)=\cos(\omega t)\cos\delta+\sin(\omega t)\sin\delta.
Se quisermos representar
u(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)
na forma R\cos(\omega t-\delta), basta identificar os coeficientes comparando com a identidade acima. Isso dá o sistema
A=R\cos\delta,\qquad B=R\sin\delta.
Agora vou explicar por que isso permite achar R e \delta:
  • Para R: elevar ao quadrado as duas igualdades e somar elimina \delta:
A^{2}+B^{2}=R^{2}\cos^{2}\delta+R^{2}\sin^{2}\delta=R^{2}(\cos^{2}\delta+\sin^{2}\delta)=R^{2}.
Portanto
R=\sqrt{A^{2}+B^{2}}.
  • Para \delta: dividir as duas igualdades dá
\tan\delta=\frac{B}{A},
logo
\delta=\arctan\!\left(\frac{B}{A}\right),
lembrando que é preciso observar o sinal de A e B para determinar o quadrante correto (uso prático: função atan2 (B,A)).

Passo 3

Aplicando ao caso dado: aqui \omega=2, A=2 e B=4.
Calculemos R:
R=\sqrt{A^{2}+B^{2}}=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}.
Valor numérico aproximado:
R=2\sqrt{5}\approx 4{,}4721.

Passo 4

Agora \delta. Como A>0 e B>0, o ângulo \delta está no primeiro quadrante e podemos usar
\delta=\arctan\!\left(\frac{B}{A}\right)=\arctan\!\left(\frac{4}{2}\right)=\arctan(2).
Valor numérico aproximado (em radianos):
\delta=\arctan(2)\approx 1{,}1071\\ \text{rad},
que em graus seria aproximadamente 63{,}4349^\circ.

Passo 5

Também identificamos a frequência angular pedida diretamente da expressão original: como aparece \cos(2t) e \sin(2t), temos
\omega_{0}=2.
Portanto a forma desejada é
u(t)=2\sqrt{5}\,\cos\bigl(2t-\arctan(2)\bigr),
ou numericamente
u(t)\approx 4{,}4721\cos\bigl(2t-1{,}1071\bigr).

Resposta

\omega_{0}=2
R=2\sqrt{5}\approx 4{,}4721
\delta=\arctan(2)\approx 1{,}1071\\ \text{rad}

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