A temperatura de um motor de carro varia de acordo com a Lei de Newton (aquecimento); ou seja, a temperatura varia a uma razāo proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura ambiente. Suponha que o motor está inicialmente a 30^{\circ} \mathrm{C}, a uma temperatura ambiente de 90^{\circ} \mathrm{C}. Após 4 minutos, a temperatura do motor é 60^{\circ} \mathrm{C}.
(a) ( 1,0 ponto) Determine o problema de valor inicial ( P V I ) que descreve a temperatura T(t) do motor no tempo.
(b) (1,0 ponto) Resolva o PVI.
(c) (1,0 ponto) Determine em que instante o motor atinge 80^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede):
  • Temperatura ambiente: 90^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura inicial do motor no instante t=0: T(0)=30^\circ\mathrm{C}.
  • Após 4 minutos: T(4)=60^\circ\mathrm{C}.
    O enunciado pede três coisas:
    (a) determinar o problema de valor inicial (PVI) que descreve T(t);
    (b) resolver o PVI, isto é, encontrar T(t) explicitamente;
    (c) determinar o instante t em que T(t)=80^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Entendendo a Lei de Newton do aquecimento (explicação didática): a lei diz que a velocidade de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do meio ambiente e a temperatura do objeto. Em linguagem matemática isso vira uma equação diferencial do tipo
\frac{dT}{dt}=k\bigl(T_{\text{amb}}-T(t)\bigr),
onde:
  • T(t) é a temperatura do motor no tempo t (em minutos),
  • T_{\text{amb}} é a temperatura ambiente (aqui 90^\circ\mathrm{C}),
  • k é uma constante positiva de proporcionalidade (medida em \text{min}^{-1}); k>0 porque a temperatura do motor aumenta quando está abaixo da ambiente.
    Note: a escolha do sinal é assim para garantir que, se T<T_{\text{amb}}, então \dfrac{dT}{dt}>0 (temperatura sobe).

Passo 3

Formulando o PVI usando os dados (a resposta da letra (a)):
\frac{dT}{dt}=k\bigl(90-T(t)\bigr),\qquad T(0)=30.
Isso é exatamente o PVI que descreve o problema.

Passo 4

Resolvendo o PVI (começando o passo a passo algebraico e integrando): a equação é separável. Faço a separação das variáveis:
\frac{dT}{90-T}=k\,dt.
Agora integro ambos os lados. A primitiva da esquerda é -\ln|90-T| e a da direita é kt mais constante. Então:
-\ln|90-T|=kt+C.
Multiplico por -1 e exponencio:
\ln|90-T|=-kt-C\quad\Rightarrow\quad |90-T|=C'e^{-kt},
onde C'=e^{-C}>0. Como 90-T>0 nos tempos de interesse (motor abaixo da ambiente), podemos remover o valor absoluto:
90-T=C'e^{-kt}.
Chamo C=C'>0 e isolo T:
T(t)=90-Ce^{-kt}.
Agora aplico a condição inicial T(0)=30:
30=90-C\cdot e^{0}=90-C\quad\Rightarrow\quad C=60.
Logo a solução geral com C já determinado é
T(t)=90-60e^{-kt}.

Passo 5

Determinar k usando o dado T(4)=60 (continuação da resolução): substituo t=4 e T(4)=60 na expressão obtida:
60=90-60e^{-4k}.
Isolo o exponencial:
60e^{-4k}=90-60=30\quad\Rightarrow\quad e^{-4k}=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}.
Tomando logaritmo natural:
-4k=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2\quad\Rightarrow\quad k=\frac{\ln 2}{4}.
Valor numérico aproximado (opcional para intuição): \ln 2\approx0,69315, então k\approx0,69315/4\approx0,17329\\ \text{min}^{-1}.
Substituindo k na solução, escrevo T(t) de forma mais explícita:
T(t)=90-60\exp\!\Bigl(-\frac{\ln 2}{4}t\Bigr).
Usando propriedade de potências, isso também pode ser escrito como
T(t)=90-60\cdot 2^{-t/4}.
Interpretação física rápida: a diferença 90-T(t) diminui pela metade a cada 4 minutos (meia-vida de 4 min).

Passo 6

Determinar o instante em que T(t)=80 (resolvendo a letra (c)): igualo T(t) a 80:
80=90-60e^{-kt}.
Isolo o exponencial:
60e^{-kt}=90-80=10\quad\Rightarrow\quad e^{-kt}=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}.
Tomando logaritmo natural:
-kt=\ln\!\left(\tfrac{1}{6}\right)=-\ln 6\quad\Rightarrow\quad t=\frac{\ln 6}{k}.
Substituo k=\dfrac{\ln 2}{4}:
t=\frac{\ln 6}{\ln 2/4}=4\frac{\ln 6}{\ln 2}=4\log_{2}6.
Valor numérico aproximado: \ln 6\approx1,79176, \ln 2\approx0,69315, então
t\approx 4\cdot\frac{1,79176}{0,69315}\approx 4\cdot 2,58496\approx 10,3398\\ \text{min}.
Arredondando razoavelmente: t\approx 10,34 minutos.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{dT}{dt}=k\bigl(90-T(t)\bigr),\quad T(0)=30.\n
(b) \displaystyle T(t)=90-60\exp\!\Bigl(-\frac{\ln 2}{4}t\Bigr)=90-60\cdot 2^{-t/4}.\n
(c) \displaystyle t=\frac{4\ln 6}{\ln 2}\approx 10,34\\ \text{min}.

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