A temperatura de um motor de carro varia de acordo com a Lei de Newton (aquecimento); ou seja, a temperatura varia a uma razāo proporcional à diferença entre sua temperatura e a temperatura ambiente. Suponha que o motor está inicialmente a
, a uma temperatura ambiente de
. Após 4 minutos, a temperatura do motor é
.
(a) ( 1,0 ponto) Determine o problema de valor inicial (
) que descreve a temperatura
do motor no tempo.
(b) (1,0 ponto) Resolva o PVI.
(c) (1,0 ponto) Determine em que instante o motor atinge
.
(a) ( 1,0 ponto) Determine o problema de valor inicial (
(b) (1,0 ponto) Resolva o PVI.
(c) (1,0 ponto) Determine em que instante o motor atinge
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi dado e o que se pede):
- Temperatura ambiente:
. - Temperatura inicial do motor no instante
: . - Após
minutos: .
O enunciado pede três coisas:
(a) determinar o problema de valor inicial (PVI) que descreve;
(b) resolver o PVI, isto é, encontrarexplicitamente;
(c) determinar o instanteem que .
Passo 2
Entendendo a Lei de Newton do aquecimento (explicação didática): a lei diz que a velocidade de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do meio ambiente e a temperatura do objeto. Em linguagem matemática isso vira uma equação diferencial do tipo
onde:
-
é a temperatura do motor no tempo (em minutos), -
é a temperatura ambiente (aqui ), -
é uma constante positiva de proporcionalidade (medida em ); porque a temperatura do motor aumenta quando está abaixo da ambiente.
Note: a escolha do sinal é assim para garantir que, se, então (temperatura sobe).
Passo 3
Formulando o PVI usando os dados (a resposta da letra (a)):
Isso é exatamente o PVI que descreve o problema.
Passo 4
Resolvendo o PVI (começando o passo a passo algebraico e integrando): a equação é separável. Faço a separação das variáveis:
Agora integro ambos os lados. A primitiva da esquerda é
e a da direita é
mais constante. Então:
Multiplico por
e exponencio:
onde
. Como
nos tempos de interesse (motor abaixo da ambiente), podemos remover o valor absoluto:
Chamo
e isolo
:
Agora aplico a condição inicial
:
Logo a solução geral com
já determinado é
Passo 5
Determinar
usando o dado
(continuação da resolução): substituo
e
na expressão obtida:
Isolo o exponencial:
Tomando logaritmo natural:
Valor numérico aproximado (opcional para intuição):
, então
.
Substituindo na solução, escrevo
de forma mais explícita:
Substituindo
Usando propriedade de potências, isso também pode ser escrito como
Interpretação física rápida: a diferença
diminui pela metade a cada
minutos (meia-vida de
min).
Passo 6
Determinar o instante em que
(resolvendo a letra (c)): igualo
a
:
Isolo o exponencial:
Tomando logaritmo natural:
Substituo
:
Valor numérico aproximado:
,
, então
Arredondando razoavelmente:
minutos.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)