Considere o problema de valor inicial (PVI)
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=1 e^{\prime}, \quad y(0)=0, \quad y^{\prime}(0)=1 .
(a) ( 1,0 ponto) Encontre a solução geral da EDO homogênea associada ao PVI.
(b) (2,0 pontos) Encontre a solução do PVI.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
y''-2y'+2y=\mathrm{e}^{t},\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=1.
(O enunciado foi entendido como tendo o termo forçado \mathrm{e}^{t} à direita.)
As perguntas são:
  • (a) encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja da equação y''-2y'+2y=0;
  • (b) encontrar a solução do PVI completo com a condição inicial dada.
Informações importantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • A força é \mathrm{e}^{t}, uma função exponencial simples.
  • Existem duas condições iniciais: y(0)=0 e y'(0)=1.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''-2y'+2y=0.
Método: procurar soluções do tipo \mathrm{e}^{r t}. Substituindo obtém-se a equação característica
r^{2}-2r+2=0.
Vamos resolver essa equação quadrática. O discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot2 = 4-8 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas. Calcula-se
r=\frac{2\pm\sqrt{-4}}{2}=1\pm \mathrm{i}.
Para raízes complexas r=\alpha\pm \mathrm{i}\beta a forma geral da solução homogênea é
y_{h}(t)=\mathrm{e}^{\alpha t}\big(C_{1}\cos(\beta t)+C_{2}\sin(\beta t)\big).
Aqui \alpha=1 e \beta=1, logo
y_{h}(t)=\mathrm{e}^{t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big),
que é a solução geral da equação homogênea (resposta da parte (a)).

Passo 3

Escolha do método para encontrar uma solução particular: a força é \mathrm{e}^{t}, uma exponencial, então o método das coeficientes a determinar (undetermined coefficients) é apropriado. Para uma força do tipo \mathrm{e}^{\alpha t} tenta-se uma solução particular da forma y_{p}=A\mathrm{e}^{\alpha t}, exceto no caso de ressonância, quando \mathrm{e}^{\alpha t} já é solução da homogênea — aí multiplica-se por t. É preciso verificar se há ressonância: as soluções homogêneas são \mathrm{e}^{t}\cos t e \mathrm{e}^{t}\sin t, mas a função \mathrm{e}^{t} isolada NÃO é solução da homogênea, portanto não há necessidade de multiplicar por t. Assim tentamos
y_{p}(t)=A\mathrm{e}^{t},
com A constante a determinar.

Passo 4

Calcular derivadas de y_{p} e substituir na equação para achar A.
y_{p}'(t)=A\mathrm{e}^{t},\qquad y_{p}''(t)=A\mathrm{e}^{t}.
Substituindo em y''-2y'+2y obtemos
y_{p}''-2y_{p}'+2y_{p}=A\mathrm{e}^{t}-2A\mathrm{e}^{t}+2A\mathrm{e}^{t}=(1-2+2)A\mathrm{e}^{t}=A\mathrm{e}^{t}.
Devemos igualar isso ao lado direito \mathrm{e}^{t}, portanto
A\mathrm{e}^{t}=\mathrm{e}^{t}\quad\Rightarrow\quad A=1.
Assim a solução particular é
y_{p}(t)=\mathrm{e}^{t}.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=\mathrm{e}^{t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)+\mathrm{e}^{t}.
Agora vamos aplicar as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.

Passo 6

Aplicar y(0)=0. Avaliando y em t=0:
y(0)=\mathrm{e}^{0}\big(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\big)+\mathrm{e}^{0}=C_{1}+1.
Como y(0)=0, segue C_{1}+1=0, isto é
C_{1}=-1.

Passo 7

Calcular y'(t) para usar y'(0)=1. Derivando y(t)=\mathrm{e}^{t}(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t)+\mathrm{e}^{t} usando a regra do produto:
y'(t)=\mathrm{e}^{t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)+\mathrm{e}^{t}\big(-C_{1}\sin t + C_{2}\cos t\big)+\mathrm{e}^{t}.
Somando os termos dentro do colchete:
y'(t)=\mathrm{e}^{t}\big((C_{1}+C_{2})\cos t + (C_{2}-C_{1})\sin t\big)+\mathrm{e}^{t}.
Agora avaliar em t=0:
y'(0)=(C_{1}+C_{2})+1.
Como y'(0)=1, temos (C_{1}+C_{2})+1=1, portanto C_{1}+C_{2}=0. Usando C_{1}=-1 obtemos
C_{2}=1.

Passo 8

Determinados os coeficientes, a solução do PVI é (a ser apresentada abaixo na seção de resposta).

Resposta

(a) y_{h}(t)=\mathrm{e}^{t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)
(b) y(t)=\mathrm{e}^{t}\big(1-\cos t + \sin t\big)

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