Considere o problema de valor inicial (PVI)
(a) ( 1,0 ponto) Encontre a solução geral da EDO homogênea associada ao PVI.
(b) (2,0 pontos) Encontre a solução do PVI.
(b) (2,0 pontos) Encontre a solução do PVI.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
(O enunciado foi entendido como tendo o termo forçado
à direita.)
As perguntas são:
As perguntas são:
- (a) encontrar a solução geral da equação homogênea associada, ou seja da equação
- (b) encontrar a solução do PVI completo com a condição inicial dada.
Informações importantes fornecidas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- A força é
, uma função exponencial simples. - Existem duas condições iniciais:
e .
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Método: procurar soluções do tipo
. Substituindo obtém-se a equação característica
Vamos resolver essa equação quadrática. O discriminante é
Como
, as raízes são complexas conjugadas. Calcula-se
Para raízes complexas
a forma geral da solução homogênea é
Aqui
e
, logo
que é a solução geral da equação homogênea (resposta da parte (a)).
Passo 3
Escolha do método para encontrar uma solução particular: a força é
, uma exponencial, então o método das coeficientes a determinar (undetermined coefficients) é apropriado. Para uma força do tipo
tenta-se uma solução particular da forma
, exceto no caso de ressonância, quando
já é solução da homogênea — aí multiplica-se por
. É preciso verificar se há ressonância: as soluções homogêneas são
e
, mas a função
isolada NÃO é solução da homogênea, portanto não há necessidade de multiplicar por
. Assim tentamos
com
constante a determinar.
Passo 4
Calcular derivadas de
e substituir na equação para achar
.
Substituindo em
obtemos
Devemos igualar isso ao lado direito
, portanto
Assim a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não homogênea é soma da homogênea com a particular:
Agora vamos aplicar as condições iniciais para determinar
e
.
Passo 6
Aplicar
. Avaliando
em
:
Como
, segue
, isto é
Passo 7
Calcular
para usar
. Derivando
usando a regra do produto:
Somando os termos dentro do colchete:
Agora avaliar em
:
Como
, temos
, portanto
. Usando
obtemos
Passo 8
Determinados os coeficientes, a solução do PVI é (a ser apresentada abaixo na seção de resposta).
Resposta
(a)
(b)