Em cada um dos itens abaixo, determine
e
, de modo que a expressão dada esteja na forma
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para determinar e
de modo que a expressão fique na forma
e pede para determinar
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função é uma combinação linear de cosseno e seno com a mesma frequência.
- Os coeficientes são
multiplicando o cosseno e multiplicando o seno. - Precisamos encontrar
, (amplitude) e (defasagem) que reproduzam exatamente a expressão dada.
Passo 2
Idéia do método (fórmula que vamos usar) — aula curta e didática:
Sempre que temos uma combinação
Sempre que temos uma combinação
podemos escrever isso como um único cosseno com fase:
porque a identidade trigonométrica dá
Comparando coeficientes obtemos o sistema
Explicando cada símbolo:
-
é o coeficiente da . -
é o coeficiente da . -
é a amplitude resultante (número positivo). -
é a fase (ângulo), que pode ser encontrado por razões trigonométricas.
Para obtere explicitamente:
mas atenção: usar
sozinho dá o ângulo apenas até múltiplos de
; é preciso considerar o sinal de
e
(ou usar a função
) para escolher o quadrante correto de
.
Passo 3
Identificar os parâmetros no nosso caso:
- Da expressão dada, a frequência angular é o fator que multiplica
dentro do cosseno/seno: portanto
- O coeficiente do cosseno é
. - O coeficiente do seno é
.
Passo 4
Calcular
usando a fórmula da amplitude:
Explicando o cálculo passo a passo: ele vem de somar os quadrados dos coeficientes e tirar a raiz, isto garante que
é não negativo e que as relações
,
podem ser satisfeitas.
Passo 5
Determinar
. Primeiro obtemos a tangente:
A equação
tem soluções básicas
para inteiro
. Para escolher o valor correto precisamos considerar os sinais de
e
:
-
é negativo ⇒ . -
é negativo ⇒ .
Seno e cosseno ambos negativos ocorrem no terceiro quadrante. No terceiro quadrante, o ângulo com tangente igual aé
Observação: outra escolha equivalente seria
, mas normalmente escolhemos
no intervalo
, então
é apropriado.
Passo 6
Verificação (para ficar seguro e aprender a checar em prova):
Calcular e
com os valores encontrados:
Calcular
Então
que coincidem exatamente com
e
. Logo
confirmando que os valores encontrados estão corretos.