Em cada um dos itens abaixo, determine ω_{0}, R e δ, de modo que a expressão dada esteja na forma u(t)=R \cos \left(ω_{0} t-δ\right).
u(t)=-2 \cos (π t)-2 \operatorname{sen}(π t)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
u(t)=-2\cos(\pi t)-2\operatorname{sen}(\pi t)
e pede para determinar ω_{0}, R e δ de modo que a expressão fique na forma
u(t)=R\cos\big(ω_{0}t-δ\big).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função é uma combinação linear de cosseno e seno com a mesma frequência.
  • Os coeficientes são a=-2 multiplicando o cosseno e b=-2 multiplicando o seno.
  • Precisamos encontrar ω_{0}, R>0 (amplitude) e δ (defasagem) que reproduzam exatamente a expressão dada.

Passo 2

Idéia do método (fórmula que vamos usar) — aula curta e didática:
Sempre que temos uma combinação
u(t)=a\cos(\omega t)+b\operatorname{sen}(\omega t)
podemos escrever isso como um único cosseno com fase:
u(t)=R\cos\big(\omega t-δ\big),
porque a identidade trigonométrica dá
\cos(\omega t-δ)=\cos(\omega t)\cos δ+\operatorname{sen}(\omega t)\sin δ.
Comparando coeficientes obtemos o sistema
R\cos δ = a,\qquad R\sin δ = b.
Explicando cada símbolo:
  • a é o coeficiente da \cos(\omega t).
  • b é o coeficiente da \operatorname{sen}(\omega t).
  • R é a amplitude resultante (número positivo).
  • δ é a fase (ângulo), que pode ser encontrado por razões trigonométricas.
    Para obter R e δ explicitamente:
R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, \qquad \tan δ=\frac{b}{a},
mas atenção: usar \tan δ sozinho dá o ângulo apenas até múltiplos de \pi; é preciso considerar o sinal de a e b (ou usar a função \operatorname{atan2}(b,a)) para escolher o quadrante correto de δ.

Passo 3

Identificar os parâmetros no nosso caso:
  • Da expressão dada, a frequência angular é o fator que multiplica t dentro do cosseno/seno: portanto
ω_{0}=\pi.
  • O coeficiente do cosseno é a=-2.
  • O coeficiente do seno é b=-2.

Passo 4

Calcular R usando a fórmula da amplitude:
R=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{(-2)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}.
Explicando o cálculo passo a passo: ele vem de somar os quadrados dos coeficientes e tirar a raiz, isto garante que R é não negativo e que as relações R\cos δ=a, R\sin δ=b podem ser satisfeitas.

Passo 5

Determinar δ. Primeiro obtemos a tangente:
\tan δ=\frac{b}{a}=\frac{-2}{-2}=1.
A equação \tan δ=1 tem soluções básicas δ=\frac{\pi}{4}+k\pi para inteiro k. Para escolher o valor correto precisamos considerar os sinais de a e b:
  • a=R\cos δ=-2 é negativo ⇒ \cos δ<0.
  • b=R\sin δ=-2 é negativo ⇒ \sin δ<0.
    Seno e cosseno ambos negativos ocorrem no terceiro quadrante. No terceiro quadrante, o ângulo com tangente igual a 1 é
δ=\pi+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}.
Observação: outra escolha equivalente seria δ=-\tfrac{3\pi}{4}, mas normalmente escolhemos δ no intervalo 0\le δ<2\pi, então δ=\tfrac{5\pi}{4} é apropriado.

Passo 6

Verificação (para ficar seguro e aprender a checar em prova):
Calcular R\cos δ e R\sin δ com os valores encontrados:
\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{5\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}.
Então
R\cos δ = 2\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2, \qquad R\sin δ = 2\sqrt{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-2,
que coincidem exatamente com a e b. Logo
-2\cos(\pi t)-2\operatorname{sen}(\pi t)=2\sqrt{2}\cos\!\big(\pi t-\tfrac{5\pi}{4}\big),
confirmando que os valores encontrados estão corretos.

Resposta

ω_{0}=\pi
R=2\sqrt{2}
δ=\dfrac{5\pi}{4}

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