Em cada um dos itens abaixo, determine a ordem das EDO’s. Verifique também se a função dada é solução da equação correspondente. Em seguida, determine c de modo que a solução particular resultante satisfaça a condição dada.
y^{\prime}+y=1 ; y(t)=1+c e^{-t} ; y=3, quando t=0.

Passo 1

O enunciado dá a EDO
y' + y = 1
e a função proposta
y(t)=1 + c\,e^{-t}
pede que (1) a ordem da EDO seja determinada, (2) verifiquemos se essa y(t) é de fato solução, e (3) encontremos o valor de c tal que
y(0)=3.
O conteúdo é EDO de primeira ordem linear, verificação de solução e aplicação de condição inicial.

Passo 2

A equação
y' + y = 1
envolve apenas a primeira derivada de y, logo é uma EDO de ordem 1.

Passo 3

Para verificar se y(t)=1 + c\,e^{-t} satisfaz a equação, calculemos sua derivada:
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(1 + c\,e^{-t}\bigr) = -c\,e^{-t}.
Substituindo em y' + y:
y'(t)+y(t) = -c\,e^{-t} + \bigl(1 + c\,e^{-t}\bigr) = 1.
Como o lado esquerdo dá sempre 1, essa y(t) é solução para qualquer c.

Passo 4

Aplicando a condição inicial y(0)=3:
y(0)=1 + c\,e^{0}=1 + c \overset{!}{=}3
Logo c=2.

Resposta

c=2

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