Em cada problema encontre a solução do problema de valor inicial.
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime}(t)+y(t)=\frac{e^{-t}}{1+t^{2}} \\ y(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'(t) + y(t) = \frac{e^{-t}}{1+t^{2}},\quad y(0)=1.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. O método consiste em encontrar um fator integrante para reconhecer o lado esquerdo como derivada de um produto.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) a partir de
\mu(t) = e^{\int 1\,dt} = e^{t}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(t)=e^{t}. Isso dá
e^{t}y'(t) + e^{t}y(t) = \frac{e^{t}e^{-t}}{1+t^{2}} = \frac{1}{1+t^{2}},
e o lado esquerdo é a derivada de e^{t}y(t). Logo,
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t}y(t)\bigr) = \frac{1}{1+t^{2}}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
e^{t}y(t) = \int \frac{1}{1+t^{2}}\,dt + C = \arctan(t) + C.

Passo 5

Usamos a condição inicial y(0)=1. Em t=0,
e^{0}y(0) = \arctan(0) + C \quad\Longrightarrow\quad 1 = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 1.

Passo 6

Substituindo C=1 na solução geral, obtemos
e^{t}y(t) = \arctan(t) + 1 \quad\Longrightarrow\quad y(t) = e^{-t}\bigl(\arctan(t) + 1\bigr).

Resposta

y(t) = e^{-t}\bigl(\arctan(t) + 1\bigr).

Exercícios relacionados