Em cada problema encontre a solução do problema de valor inicial.
\left{ \begin{array}{l}y^{\prime}(t)+2 y(t)=t e^{-2 t} \\ y(1)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
\begin{cases} y'(t)+2\,y(t)=t\,e^{-2t},\\\ y(1)=0, \end{cases}
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) como
\mu(t)=\exp\Bigl(\int 2\,dt\Bigr)=\exp(2t)=e^{2t}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t), obtemos
e^{2t}y'(t)+2e^{2t}y(t) =\frac{d}{dt}\bigl(y(t)e^{2t}\bigr) =t\cdot e^{2t}\,e^{-2t}=t.

Passo 4

Agora integramos em relação a t:
y(t)e^{2t}=\int t\,dt + C =\frac{t^2}{2}+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y(t):
y(t)=\Bigl(\frac{t^2}{2}+C\Bigr)e^{-2t}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(1)=0:
0=y(1)=\Bigl(\frac{1^2}{2}+C\Bigr)e^{-2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}+C=0 \quad\Longrightarrow\quad C=-\frac{1}{2}.

Resposta

y(t)=\Bigl(\frac{t^2}{2}-\frac{1}{2}\Bigr)e^{-2t} =\frac{t^2-1}{2}\;e^{-2t}.

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