Em cada um dos itens abaixo, determine o plano \Pi. \Pi contém as retas:
\ell_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=1 \\\ y=1 \\\ z=t \end{array}, t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad \ell_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=1+s \\\ y=1+2 s, s \in \mathbb{R} . \\\ z=0 \end{array}\right.\right.
Passo 1
O enunciado pede o plano \Pi que contém as retas \ell_{1}\colon x=1,\;y=1,\;z=t e \ell_{2}\colon x=1+s,\;y=1+2s,\;z=0.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: um plano é determinado por duas retas que se cruzam. Vamos precisar dos vetores diretores de cada reta e do produto vetorial para achar o vetor normal ao plano.
Passo 2
Extraímos as parametrizações e os vetores diretores: \ell_{1} pode ser escrita como
(x,y,z)=(1,1,t),
logo o vetor diretor é
\vec v_{1}=(0,0,1).\ell_{2} está em
(x,y,z)=(1+s,\;1+2s,\;0),
logo o vetor diretor é
\vec v_{2}=(1,2,0).
Passo 3
Verificamos o ponto de interseção P_{0}:
em \ell_{1}, para t=0 obtemos P_{0}=(1,1,0);
em \ell_{2}, para s=0 obtemos o mesmo P_{0}=(1,1,0).
Como as retas se cruzam em P_{0}, elas determinam um plano único.