Em cada um dos itens abaixo, determine o plano \Pi.
\Pi contém as retas:
\ell_{1}:\left\{\begin{array}{l} x=1 \\\ y=1 \\\ z=t \end{array}, t \in \mathbb{R} \quad \text { e } \quad \ell_{2}:\left\{\begin{array}{l} x=1+s \\\ y=1+2 s, s \in \mathbb{R} . \\\ z=0 \end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede o plano \Pi que contém as retas \ell_{1}\colon x=1,\;y=1,\;z=t e \ell_{2}\colon x=1+s,\;y=1+2s,\;z=0.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: um plano é determinado por duas retas que se cruzam. Vamos precisar dos vetores diretores de cada reta e do produto vetorial para achar o vetor normal ao plano.

Passo 2

Extraímos as parametrizações e os vetores diretores: \ell_{1} pode ser escrita como
(x,y,z)=(1,1,t),
logo o vetor diretor é
\vec v_{1}=(0,0,1). \ell_{2} está em
(x,y,z)=(1+s,\;1+2s,\;0),
logo o vetor diretor é
\vec v_{2}=(1,2,0).

Passo 3

Verificamos o ponto de interseção P_{0}:
em \ell_{1}, para t=0 obtemos P_{0}=(1,1,0);
em \ell_{2}, para s=0 obtemos o mesmo P_{0}=(1,1,0).
Como as retas se cruzam em P_{0}, elas determinam um plano único.

Passo 4

Calculamos o vetor normal ao plano como
\vec n = \vec v_{1}\times \vec v_{2} = (0,0,1)\times(1,2,0) = (-2,1,0).

Passo 5

A equação do plano com normal \vec n=(-2,1,0) passando por P_{0}=(1,1,0) é
-2\,(x-1)+1\,(y-1)+0\,(z-0)=0
que simplifica para
-2x+y+1=0
ou, multiplicando por -1,
2x - y - 1 = 0.

Resposta

\Pi\colon 2x - y - 1 = 0

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