Em cada um dos itens abaixo, determine o plano \Pi. \Pi contém as retas: \ell_{1}: P=(1,1,1)+t(1,1,-1), t \in \mathbb{R}, \quad \ell_{2}: Q=s(1,-1,1), \quad s \in \mathbb{R}.
Passo 1
O enunciado pede o plano \Pi que contém as retas \ell_{1}: P(t)=(1,1,1)+t\,(1,1,-1) e \ell_{2}: Q(s)=s\,(1,-1,1).
Para que duas retas estejam num mesmo plano precisamos que elas sejam coplanares, isto é, o vetor que liga um ponto de \ell_{1} a um ponto de \ell_{2} e os vetores-direção de cada reta sejam linearmente dependentes (ou o determinante formado por eles seja zero).
Passo 2
Escolhemos um ponto em cada reta e extraímos os vetores-direção:
– Na reta \ell_{1} tomamos P_{0}=(1,1,1) e o vetor-direção \,v_{1}=(1,1,-1).
– Na reta \ell_{2} tomamos Q_{0}=(0,0,0) (caso s=0) e o vetor-direção \,v_{2}=(1,-1,1).
O vetor que liga P_{0} a Q_{0} é
u = Q_{0}-P_{0} = (0,0,0)-(1,1,1)=(-1,-1,-1).
Passo 3
Aplicamos o teste de coplanaridade: três vetores u,v_{1},v_{2} são coplanares se e somente se
\det\begin{pmatrix} u & v_{1} & v_{2} \end{pmatrix} =0.