Em cada um dos itens abaixo, determine o plano \Pi.
\Pi contém as retas:
\ell_{1}: P=(1,1,1)+t(1,1,-1), t \in \mathbb{R}, \quad \ell_{2}: Q=s(1,-1,1), \quad s \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado pede o plano \Pi que contém as retas
\ell_{1}: P(t)=(1,1,1)+t\,(1,1,-1) e
\ell_{2}: Q(s)=s\,(1,-1,1).
Para que duas retas estejam num mesmo plano precisamos que elas sejam coplanares, isto é, o vetor que liga um ponto de \ell_{1} a um ponto de \ell_{2} e os vetores-direção de cada reta sejam linearmente dependentes (ou o determinante formado por eles seja zero).

Passo 2

Escolhemos um ponto em cada reta e extraímos os vetores-direção:
– Na reta \ell_{1} tomamos P_{0}=(1,1,1) e o vetor-direção
\,v_{1}=(1,1,-1).
– Na reta \ell_{2} tomamos Q_{0}=(0,0,0) (caso s=0) e o vetor-direção
\,v_{2}=(1,-1,1).
O vetor que liga P_{0} a Q_{0} é
u = Q_{0}-P_{0} = (0,0,0)-(1,1,1)=(-1,-1,-1).

Passo 3

Aplicamos o teste de coplanaridade: três vetores u,v_{1},v_{2} são coplanares se e somente se
\det\begin{pmatrix} u & v_{1} & v_{2} \end{pmatrix} =0.
Aqui
\det\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1\\\\ -1 & 1 & -1\\\\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} \;=\;4\;\neq0,
logo os vetores não são coplanares.

Passo 4

Como o determinante é diferente de zero, as retas \ell_{1} e \ell_{2} são reversas (skew lines) e não existe plano que as contenha simultaneamente.

Resposta

Não existe plano \Pi que contenha ambas as retas.

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