Exercício 11: Consideremos, agora em \mathbb{R}^{3}, as seguintes bases:
\begin{aligned} \beta & =\{(1,0,2),(3,-1,0),(0,1,1)\} \\\ \beta^{\prime} & =\{(1,-1,-1),(2,-2,0),(-1,0,0)\} \end{aligned}
Encontre as matrizes de mudança de base [I]_{\beta^{\prime}}^{\beta} \mathrm{e}[I]_{\beta}^{\beta^{\prime}}.

Passo 1

O enunciado dá duas bases de \mathbb{R}^3:
\beta=\{b_1=(1,0,2),\,b_2=(3,-1,0),\,b_3=(0,1,1)\}, \quad \beta'=\{b'_1=(1,-1,-1),\,b'_2=(2,-2,0),\,b'_3=(-1,0,0)\}.
Pede-se as matrizes de mudança de coordenadas da aplicação identidade
I:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3
com domínio em \beta' e contradomínio em \beta (isto é, [I]_{\beta'}^{\beta}) e também com domínio em \beta e contradomínio em \beta' (isto é, [I]_{\beta}^{\beta'}). Para montar cada uma, basta expressar cada vetor da base de domínio como combinação linear dos vetores da base de contradomínio; essas coordenadas formam as colunas da matriz.

Passo 2

Construção de [I]_{\beta'}^{\beta}\): as colunas são as coordenadas de \(b'_j\) em \(\beta\). 1\. Para \(b'_1=(1,-1,-1)\), escrevemos \[c_1(1,0,2)+c_2(3,-1,0)+c_3(0,1,1)=(1,-1,-1),
isto é o sistema
\begin{cases} c_1+3c_2 =1,\\\\ -\,c_2+c_3 =-1,\\\\ 2c_1 + c_3 =-1. \end{cases}
Resolvendo, obtém-se (c_1,c_2,c_3)=(-\tfrac15,\tfrac25,-\tfrac35)\]. 2\. Para \[b'_2=(2,-2,0), o sistema
\begin{cases} c_1+3c_2 =2,\\\\ -\,c_2+c_3 =-2,\\\\ 2c_1 + c_3 =0 \end{cases}
(c_1,c_2,c_3)=(\tfrac45,\tfrac25,-\tfrac85)\]. 3\. Para \[b'_3=(-1,0,0), o sistema
\begin{cases} c_1+3c_2 =-1,\\\\ -\,c_2+c_3 =0,\\\\ 2c_1 + c_3 =0 \end{cases}
dá ((c_1,c_2,c_3)=(\tfrac15,-\tfrac25,-\tfrac25)].

Passo 3

As colunas encontradas formam
[I]_{\beta'}^{\beta} = \begin{pmatrix} -1/5 & 4/5 & 1/5 \\\\ 2/5 & 2/5 & -2/5 \\\\ -3/5 & -8/5 & -2/5 \end{pmatrix}.

Passo 4

Construção de [I]_{\beta}^{\beta'}\): as colunas são as coordenadas de \(b_j\) em \(\beta'\). 1\. Para \(b_1=(1,0,2)\), escrevemos \[a(1,-1,-1)+b(2,-2,0)+c(-1,0,0)=(1,0,2),
isto é
\begin{cases} a+2b -c =1,\\\\ -\,a-2b =0,\\\\ -\,a =2, \end{cases}
e achamos (a,b,c)=(-2,1,-1)\]. 2\. Para \[b_2=(3,-1,0), o sistema
\begin{cases} a+2b -c =3,\\\\ -\,a-2b =-1,\\\\ -\,a =0 \end{cases}
(a,b,c)=(0,\tfrac12,-2)\]. 3\. Para \[b_3=(0,1,1), o sistema
\begin{cases} a+2b -c =0,\\\\ -\,a-2b =1,\\\\ -\,a =1 \end{cases}
dá ((a,b,c)=(-1,0,-1)].

Passo 5

As colunas obtidas compõem
[I]_{\beta}^{\beta'} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1/2 & 0 \\\\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}.

Resposta

[I]_{\beta'}^{\beta}=\displaystyle\begin{pmatrix} -1/5 & 4/5 & 1/5 \\\\ 2/5 & 2/5 & -2/5 \\\\ -3/5 & -8/5 & -2/5 \end{pmatrix},
[I]_{\beta}^{\beta'}=\displaystyle\begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\\\ 1 & 1/2 & 0 \\\\ -1 & -2 & -1 \end{pmatrix}.

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