Em cada um dos itens abaixo, determine o plano \Pi.
\Pi contém a reta \ell: P=(1,1,1)+t(1,0,0), t \in \mathbb{R} e é paralelo ao vetor \vec{w}=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado quer o plano \Pi que contém a reta
\ell: \;P=(1,1,1)+t\,(1,0,0),\quad t\in\mathbb{R}
e é paralelo ao vetor
\vec w=(0,0,1).
Estamos em Geometria Analítica no espaço e, para achar \Pi, vamos usar que um plano é determinado por um ponto e dois vetores diretores, ou equivalente por um ponto e um vetor normal.

Passo 2

Identificamos dois vetores diretores de \Pi:
– Um vetor diretor da reta \ell é
\vec v_1=(1,0,0).
– Como \Pi é paralelo a \vec w, podemos tomar
\vec v_2=(0,0,1).
Logo, \Pi contém todos os combinações lineares de \vec v_1 e \vec v_2, deslocados por um ponto de \ell, por exemplo P_0=(1,1,1).

Passo 3

Para obter a equação implícita do plano, calculamos um vetor normal \vec n perpendicular a \vec v_1 e \vec v_2. Usamos o produto vetorial:
\vec n \;=\;\vec v_1\times\vec v_2 \;=\;(1,0,0)\times(0,0,1) \;=\;(0,-1,0).

Passo 4

A equação do plano com normal \vec n=(0,-1,0) que passa por P_0=(1,1,1) é
\vec n\cdot\bigl((x,y,z)-P_0\bigr)=0.
Substituindo,
(0,-1,0)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,1,1)\bigr) =0 \;\Longrightarrow\;0\cdot(x-1)-1\cdot(y-1)+0\cdot(z-1)=0
\Longrightarrow\;-(y-1)=0 \;\Longrightarrow\;y=1.

Resposta

A equação do plano \Pi é
y=1.

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