Em cada um dos itens abaixo, determine se a série converge ou diverge. Você vai perceber que, em alguns casos, mais de um teste pode ser utilizado.
sumn=1^infty n!log nn(n+2)!

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty n!log nn(n+2)!. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos precisar usar propriedades de fatoriais e comparação com séries p-séries.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral usando (n+2)!=(n+2)(n+1)n!:
n!log nn(n+2)! =n!log nn,(n+2)(n+1)n! =log nn(n+1)(n+2)
Então o nosso termo an=log nn(n+1)(n+2).

Passo 3

Para ver o comportamento assintótico, note que para grande n temos
ansimlog nn^3,
o que já sugere convergência, pois log n cresce bem mais devagar que qualquer potência de n.

Passo 4

Agora aplicamos o teste de comparação direta. Para n>=2 vale log n<= n. Assim:
0<= an=log nn(n+1)(n+2)<=nn(n+1)(n+2) =1(n+1)(n+2)<1n^2
Como sum1/n^2 é convergente (p-série com p=2>1), pela comparação a série original também converge.

Passo 5

Logo a série sumn=1^infty n!log nn(n+2)! converge.

Resposta

Converge.

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