Use o Teste da Razão para estudar a convergência da série abaixo.
sum an onde a1=1 / 3, an+1=3 n-12 n+5 an, para todo n in N

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série sumn=1^infty an definida por a1=1/3 e pela recorrência an+1=3n-12n+5an. O conteúdo principal é o Teste da Razão, e vamos precisar calcular |an+1/an| e seu limite.

Passo 2

Pela definição recursiva, para todo n>=1 temos
|an+1an|=|3n-12n+5|=3n-12n+5
Como 3n-1>0 e 2n+5>0 para todo ninN, podemos tirar o valor absoluto tranquilo.

Passo 3

Para aplicar o Teste da Razão, calculamos o limite
L=limntoinfty3n-12n+5
Dividindo numerador e denominador por n obtemos
L=limntoinfty3-1/n2+5/n=32=1,5

Passo 4

O Teste da Razão diz que se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 ela diverge, e se L=1 fica inconclusivo. Aqui L=3/2>1, logo a série
diverge. Além disso, como an+1/an não tende a um valor menor que 1, os termos an não vão a zero, reforçando a divergência da série.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão, pois limntoinftyl|an+1/anr|=3/2>1.

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