Use o Teste da Razão para estudar a convergência da série abaixo. onde , para todo
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série definida por e pela recorrência . O conteúdo principal é o Teste da Razão, e vamos precisar calcular e seu limite.
Passo 2
Pela definição recursiva, para todo temos
Como 3n-1>0 e 2n+5>0 para todo ninN, podemos tirar o valor absoluto tranquilo.
Passo 3
Para aplicar o Teste da Razão, calculamos o limite
L=limntoinfty3n-12n+5
Dividindo numerador e denominador por n obtemos
L=limntoinfty3-1/n2+5/n=32=1,5
Passo 4
O Teste da Razão diz que se L<1 a série converge absolutamente, se L>1 ela diverge, e se L=1 fica inconclusivo. Aqui L=3/2>1, logo a série
diverge. Além disso, como an+1/an não tende a um valor menor que 1, os termos an não vão a zero, reforçando a divergência da série.
Resposta
A série diverge pelo Teste da Razão, pois limntoinftyl|an+1/anr|=3/2>1.