Em cada um dos itens abaixo, determine se a série converge ou diverge. Você vai perceber que, em alguns casos, mais de um teste pode ser utilizado.
sumn=2^infty n(log n)^n

Passo 1

O enunciado quer saber se a série sumn=2^infty n(log n)^n converge ou diverge. O conteúdo envolvido é testes de convergência de séries infinitas, em especial o teste da raiz (poderíamos usar também o teste da razão). Vamos precisar lembrar a definição e critério do teste da raiz.

Passo 2

O teste da raiz diz que, para uma série com termo geral an>=0, se
L = limntoinfty raiz[n]an,
então a série converge se L<1, diverge se L>1 e é inconclusivo se L=1. Aqui vamos aplicar esse teste ao nosso termo geral.

Passo 3

Calculando a raiz n-ésima do termo geral:
raiz[n]an = raiz[n]n(log n)^n = raiz[n]nlog n
Sabemos que raiz[n]nto1 quando ntoinfty e log ntoinfty. Portanto,
limntoinftyraiz[n]an = limntoinftyraiz[n]nlog n = 1infty = 0

Passo 4

Como o limite L = 0 é menor que 1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Logo, concluímos que a série sumn=2^infty n(log n)^n converge.

Resposta

Converge.

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